УДК 517.9+536+532
Точные решения и нелинейная неустойчивость
реакционно-диффузионных систем уравнений с запаздыванием
c
○
А.Д. Полянин
1
,
2
1
Институт проблем механики им. А.Ю. Ишлинского РАН, Москва, 119526, Россия
2
МГТУ им. Н.Э. Баумана, Москва, 105005, Россия
В статье рассмотрен широкий класс нелинейных реакционно-диффузионных
систем уравнений с запаздыванием. Получены многопараметрические точные
решения с обобщенным разделением переменных, содержащие произвольное число
произвольных постоянных. Приведено решение, описывающие нелинейное взаимо-
действие стоячей волны с бегущей волной. Определена область неустойчивости
решений системы с запаздыванием.
Ключевые слова
:
точные решения, реакционно-диффузионные системы,
нелинейные уравнения с запаздыванием, глобальная неустойчивость, обоб-
щенное разделение переменных.
Введение.
Дифференциальные уравнения и системы уравнений
в частных производных с запаздывающим аргументом возникают
в различных приложениях, таких как биология, биохимия, химия,
биофизика, физическая химия, медицина, экология, теория клима-
тических моделей, теория управления, экономика и многих других
(см., например, работы [1–11] и ссылки в них). Отметим, что подоб-
ные уравнения встречаются в математической теории искусственных
нейронных сетей, результаты которой используются для обработки
сигналов и изображений и проблем распознавания образов [12–21].
В настоящей статье основное внимание уделено классу нелиней-
ных реакционно-диффузионных систем уравнений с запаздыванием
следующего вида (о других нелинейных системах с запаздыванием
см. разд. 5, 6):
=
1
+ + (
−
¯
, ,
¯)
,
(1)
=
2
+ (
−
¯
, ,
¯)
,
(2)
где
= (
,
)
,
= (
,
)
,
¯ = (
,
−
t
)
,
¯ = (
,
−
t
)
;
(
. . .
)
,
(
. . .
)
— произвольные функции трех аргументов;
t
— время запазды-
вания (
t
>
0
).
В общем случае система (1)–(2) (при
t
̸
= 0
) допускает простые точ-
ные решения типа бегущей волны
= ( )
,
= ( )
, где
=
a
+
b
(такие решения для различных реакционно-диффузионных уравнений
и систем с запаздыванием рассмотрены, например, в работах [2–7].
1
