6 / 21
Ю.И. Димитриенко, Е.А. Губарева, И.С. Шалыгин
6
ми от координаты
, так как этот тензор различен для разных слоев
оболочки. Задача (2)–(6) содержит локальную координату
, а также
малый параметр
æ
в граничных условиях (это коэффициент при дав-
лении), поэтому ее решение будем искать в виде асимптотических
разложений по параметру
æ
:
(0)
( )
(0)
(1)
1
2 (2)
3 (3)
( )
( )
( , )
( , )
( , ) ...
n n
k
I
I
I
ij
k
k
k
n
I
I
k
k
u u x
u u x
u x
u x
u x
æ
æ
æ
æ
(10)
Здесь и далее индексы, обозначенные прописными буквами
I
,
J
,
K
,
L
,
M
, а также индексы
,
принимают значения 1, 2, причем
,
а индексы
, , ,
i j k l
— значения 1, 2, 3.
Подставим разложения (10) в соотношения Коши (9), используя
правила дифференцирования функций локальных координат (7),
и получим асимптотические разложения для деформаций:
( )
(0)
(1)
2 (2)
0
...;
n n
ij
ij
ij
ij
ij
n
æ
æ æ
(11)
( )
( )
( )
( )
,
,
3
3
1 2
( )
( )
( )
( )
( )
1
1, 2
2
2,1
12
1, 2
1
2,1
2
1 2
( )
( 1)
33
3/3
( )
3,
( )
( 1)
( )
3
3
/3
1
1
1
;
1 (
);
2
;
2
.
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
u
H u
u H
H
H H
H
u H u H u H u H
H H
u
u H
u
u
H H
(12)
Подставляя (11) в систему (5), получаем асимптотические разложе-
ния для напряжений:
( )
(0)
(1)
2 (2)
0
... ;
n n
ij
ij
ij
ij
ij
n
æ
æ æ
(13)
( )
( )
( )
3 3
( )
( )
( )
3
3 3
3
3
;
.
n
n
n
IJKL
IJk
IJ
KL
k
n
n
n
i KL
i k
KL
i
k
C
C
C
C
(14)
Формулировка локальных задач.
Подставляя разложения (10)
и (13) в уравнения равновесия и граничные условия системы (2), (3),
получаем