Теория тонких оболочек, основанная на асимптотическом анализе трехмерных уравнений теории упругости

4 / 21

Ю.И. Димитриенко, Е.А. Губарева, И.С. Шалыгин
4
ординатными линиями i q . Тогда определяющие соотношения обо-
лочки, связывающие деформации   и напряжения ,
  имеют сле-
дующий вид в криволинейной системе координат i q :
3 3
3 3 3 3 3
;
,
IJ IJKL KL IJk k
i i KL KL i k k
C C
C C
    
    
(5)
где ijkl C — модули упругости слоев оболочки.
На внешней и внутренней поверхностях оболочки полагаем, что
задано давление p  , на торцевой поверхности т  — перемещение
:
ei u
т : ,
i ei u u  
а на границе S  раздела слоев оболочки заданы условия идеального
контакта слоев оболочки:
3 3 3 т 3 : ; : ; : [ ] 0; [ ] 0
i i i ei S i i p u u u
              (6)
( [ ]i u — скачок функций), которые могут отсутствовать, например, в
случае однослойной оболочки.
Основные допущения асимптотической теории. Рассмотрим
очень тонкую оболочку, для которой выполняется соотношение
/ 1, h L   æ
где æ — малый параметр; L — диаметр срединной поверхности 0  .
Введем глобальные безразмерные криволинейные координаты
k q и локальную координату : 
3 / ; / .
k k q q L q   æ
Далее все функции будем рассматривать зависящими от безразмер-
ных координат ( , ), 1, 2,
i u q    и полагать обезразмеренными. Ис-
пользуем при этом следующее правило дифференцирования от без-
размерных координат:
3
1
( , ) ( , ) ( , ).
i i j i
j j
L u q u q u q
q q   
  
     
   æ
(7)
Примем несколько допущений:
1) рассмотрим случай, когда давление на внешних поверхностях
оболочки малî: