Теория тонких оболочек, основанная на асимптотическом анализе трехмерных уравнений теории упругости

Теория тонких оболочек, основанная на асимптотическом анализе…

УДК 539.3

Теория тонких оболочек, основанная

на асимптотическом анализе трехмерных уравнений

теории упругости

МГТУ им. Н.Э. Баумана, Москва, 105005, Россия

Представлены базовые соотношения новой теории тонких многослойных анизо-

тропных оболочек, построенной на основании общих уравнений трехмерной тео-

рии упругости путем введения асимптотических разложений по малому парамет-

ру без каких-либо гипотез относительно характера распределения перемещений и

напряжений по толщине. Показано, что глобальная (осредненная по определенным

правилам) задача асимптотической теории оболочек близка к теории оболочек

Кирхгофа — Лява, но отличается от нее определяющими соотношениями, содер-

жащими производные второго порядка от мембранных перемещений. Решены так

называемые локальные задачи теории оболочек, с помощью которых получены яв-

ные выражения для шести компонент тензора напряжений, включая поперечные

нормальные напряжения и напряжения межслойного сдвига в оболочке.

Ключевые слова:

многослойные тонкие оболочки, метод асимптотического

осреднения, асимптотическая теория оболочек.

Введение.

Проблема построения уточненных теорий пластин и

оболочек, позволяющих получить как можно более точное решение

для напряжений, деформаций и перемещений, приближающееся

к точному трехмерному решению задачи теории упругости, но при

сохранении двумерности основных разрешающих дифференциаль-

ных уравнений, продолжает оставаться весьма актуальной, несмотря

на значительное число работ в этой области [1–9]. В работах [2–5]

предложены теории тонких пластин и оболочек, в том числе с двумер-

ной микроструктурой (гофрированными, сотовыми и сетчатыми кон-

струкциями), на основе метода асимптотического осреднения (метода

гомогенизации), хорошо зарекомендовавшего себя при осреднении

композитов с трехмерной периодической структурой [12–18]. В [2–5]

вводится допущение о линейном характере перемещений по толщине.

В [19–23] разработан метод асимптотического осреднения тонких

многослойных пластин без допущения гипотезы о линейности рас-

пределения перемещений, позволяющий получить явное выражение

для шести компонент тензора напряжений в тонких пластинах. В [24]

проведено сравнение численных решений, получаемых с помощью

разработанной асимптотической теории многослойных тонких пла-

стин и с помощью непосредственного численного решения задачи

трехмерной теории упругости на основе конечно-элементного мето-