Силовые упругие поля локальных микродефектов в напряженных полимерах…
9
(
)
2
.
3
ijkl
ij kl
ik jl
il jk
C K G
G
⎛
⎞
Δ = Δ − Δ δ δ + Δ δ δ + δ δ
⎜
⎟
⎝
⎠
(23)
В формулах (22), (23)
K
Δ
и
G
Δ
— возмущения объемного моду-
ля и модуля сдвига;
ϑ
— множитель размерности объема, по поряд-
ку величины равный объему дырки,
;
V
ϑ ≈ δ
дельта-функция показы-
вает, что возмущение упругих модулей локализовано в точке
( )
0
,
M
r
т. е. в месте нахождения дырки.
Таким образом, дырка представляет собой как сосредоточенный
источник объемной силы, так и локальную неоднородность.
Рассчитаем энергию взаимодействия дырки с внешним упругим
полем. Для этого найдем работу
А
, производимую силами внутрен-
них напряжений в зоне эластичности при изменении вектора дефор-
мации
u
на величину
.
δ
u
По определению,
(
)
.
ik k i
i
ik k
S
V
A
u dS
u dV
δ = σ δ = ∇ σ δ
∫
∫
Интегрирование в левой части проводится по границе
S
зоны эла-
стичности, а преобразование в интеграл — по объему этой зоны
V
с
помощью теоремы Остроградского — Гаусса. Выполнив в правой части
преобразование, используя тождество
(
) (
)
,
i
ik k
i ik
k
ik i
k
u
u
u
∇ σ δ = ∇ σ δ + σ ∇ δ
получим
(
)
.
i ik
k
ik i
k
V
V
A
u dV
u dV
δ = ∇ σ δ + σ ∇ δ
∫
∫
(24)
Для вычисления первого интеграла применим уравнение равно-
весия упругой среды зоны эластичности в виде
0
i ik
k
f
∇ σ + =
и выражение для плотности объемной силы (21). Тогда
(
)
i ik
k
k k
V
V
u dV f u dV
∇ σ δ = − δ =
∫
∫
( ) ( )
( )
(
)
(
)
0 0
0
4
.
3
k l
l
k
V
K G v M V M M
u dV
⎛
⎞
= +
ρ δ
Ω ∇ δ − δ
⎜
⎟
⎝
⎠
∫
r r
(25)
Для вычисления этого интеграла используем тождество
(
)
(
) (
) (
)
0
0
0
.
l
k
l
k
l
k
u
u
u
∇ δ − δ = ∇ δ δ − − ∇ δ δ −
⎡
⎤
⎡
⎤
⎣
⎦
⎣
⎦
r r
r r
r r
