А.А. Валишин, Т.С. Миронова
10
Затем интеграл разобьем на два, первый из них преобразуем в инте-
грал по границе зоны эластичности, и он оказывается равным нулю.
Так как дельта-функция в точках граничной поверхности равна нулю,
используем также тождество
.
kl l
k
lk lk
u
Ω ∇ δ = Ω δε
В результате интеграл (25) оказывается равным следующему ин-
тегралу:
(
)
( )
( )
0 0
3
.
4
i ik
k
ik
ik
V
u dV K G v n M M
⎛
⎞
∇ σ δ
= − +
δ Ω δε
⎜
⎟
⎝
⎠
∫
(26)
В формуле (26) деформация
ik
ε
и вариация
ik
δε
определяются в
точке нахождения дырки и относятся к внешнему полю, созданному
внешними силами, не причастными к дырке.
Для вычисления второго интеграла (24) воспользуемся равен-
ством
,
ik ik
ik i k
u
σ ε = σ ∇
которое запишем в виде
.
ik i
k
ik ik
V
V
u dV
dV
σ ∇ δ = σ δε
∫
∫
(27)
Согласно закону Гука, имеем
,
ik
i jk lm lm
C
′
σ = ε
(28)
где тензор модулей упругости
i jk lm
C
′
определен в формуле (22). Если
упругая среда однородная, модули
K
и
G
не зависят от координат.
Дырка создает локальную неоднородность упругих модулей, в ре-
зультате чего модули
K
и ,
G
а также тензор упругости
i jk lm
C
зави-
сят от координат в соответствии с формулами (22), (23). Подставляя
их в соотношение (28), а затем в интеграл (27) получаем
(
)
0
ik ik
i jk lm lm ik
i jk lm lm ik
V
V
V
dV C
dV C
dV
σ δε =
ε δε + ϑΔ ε δε δ −
=
∫
∫
∫
r r
( )
( )
0
0
.
ik lm lm ik
ik lm lm
ik
V
C
dV C
=
ε δε + ϑΔ ε
δε
∫
r
r
(29)
Подставив теперь интегралы (26) и (29) в формулу (24), получим
( ) ( )
( )
( )
( )
0 0
4
3
ik
ik
ik lm lm
ik
ik lm lm ik
V
A K G v n M M M
C M M C
dV
⎛
⎞
δ = − +
δ
Ω δε
+
⎜
⎟
⎝
⎠
+ϑΔ ε
δε
+
ε δε
∫
