Силовые упругие поля локальных микродефектов в напряженных полимерах…
3
в месте расположения дефекта. Чтобы найти объемную плотность
f
этих сил, воспользуемся уравнением равновесия
1 grad div
0.
3
K G
G
⎛
⎞ +
+ Δ + =
⎜
⎟
⎝
⎠
u u f
(6)
Подставляя в уравнение (6) выражение (5), после преобразований
получаем
( )
4
4
grad .
3
C K G
⎛
⎞
= − π +
δ
⎜
⎟
⎝
⎠
f
r
(7)
Здесь использовано соотношение
( )
1 4
,
r
⎛ ⎞ Δ = − πδ
⎜ ⎟
⎝ ⎠
r
(8)
где
( )
δ
r
— трехмерная дельта-функция.
Константа
C
в формуле (7) является мерой мощности сингуляр-
ности, порождаемой элементарным актом, которая полностью опре-
деляется величиной объемом
0
.
v
Действительно, изменение объема
среды, вызванное полем смещения (5),
0
1
1
div
divgrad
v
dV C
dV C dV
r
r
⎛ ⎞
=
= −
= − Δ
=
⎜ ⎟
⎝ ⎠
∫
∫
∫
u
( )
4
4 .
C
dV C
= πδ
= π
∫
r
(9)
Интегрирование уравнения (9) проводится по всему объему сре-
ды, в данном случае по объему зоны вынужденной эластичности. Но
поскольку поле смещений (4) быстро убывает с расстоянием от цен-
тра, то фактически интегрирование распространяется только на бли-
жайшую окрестность центра. Следовательно, объем
0
v
— объем
сферы действия элементарного акта, т. е. можно сказать, что
0
v
—
объем одного элементарного акта (разрыва или рекомбинации). То-
гда из формулы (9) следует, что константа
C
с точностью до множи-
теля равна объему элементарного акта, т. е.
0
1 .
4
C v
=
π
(10)
Таким образом, элементарные акты разрыва и рекомбинации ло-
кально изменяют объем окрестности места происшествия. Подставив
теперь константу
C
в (10), получим
( )
0
3
1
4
v
r
=
π
u r
r
(11)
