Силовые упругие поля локальных микродефектов в напряженных полимерах и композитах на их основе - page 6

А.А. Валишин, Т.С. Миронова
6
определяют разную степень отличия дырки от сферической формы. В
принципе дырка может иметь сколь угодно сложную форму, вплоть
до чечевицеобразной внутренней субмикротрещины.
Чтобы получить собственное поле деформаций дырки, подставим
формулы (16) в выражение типа (12), тогда
0 0 3 5
1 3 .
4
j k ik
ik i j
x x
v n
r r
Ω⎛ ⎞
ε = δ − Ω ⎜ ⎟
π ⎝ ⎠
Собственное поле напряжений, согласно закону Гука, определя-
ется следующим соотношением:
0 0 3
1 2 1
2
4 3 ik nn ik ik v n K G G
r
⎧⎡ ⎤ ⎛ ⎞
σ = δ − Ω δ + Ω − ⎨ ⎜ ⎟ ⎢ ⎥
π ⎝ ⎠ ⎣ ⎦ ⎩
5
2
3 2 .
3
j k
l j ik ik lk
x x
K G G
r
⎫ ⎡ ⎤ ⎛ ⎞
− − Ω δ + Ω δ ⎬ ⎜ ⎟ ⎢ ⎥
⎝ ⎠ ⎣ ⎦ ⎭
(17)
След тензора деформации дырки
0 0 3 5
1 3 ,
4
j k kk
kk kj
x x
v n
r r
Ω⎛ ⎞
ε = δ − Ω ⎜ ⎟
π ⎝ ⎠
(18)
след тензора напряжений
0 0 3 5
3 3 .
4
j k kk
kk jk
x x K v n
r r
Ω⎛ ⎞
σ = δ − Ω ⎜ ⎟
π ⎝ ⎠
Неравенство нулю следа тензора деформаций говорит о том, что,
в отличие от упругого поля одиночного центра дилатации, собствен-
ное упругое поле несимметричной (несферической) дырки не являет-
ся чисто сдвиговым — в каждой точке области своего действия это
поле вызывает изменение объема упругой среды. След тензора
напряжений определяет в каждой точке среднее гидростатическое
давление
0 0 0 3 5
1 3 .
3 4
j k kk
kk jk
x x K
p v n
r r
Ω⎛ ⎞
= − σ = − δ − Ω ⎜ ⎟
π ⎝ ⎠
Отличие тензора напряжений (17) от этого выражения свидетель-
ствует о наличии в среде сдвиговых напряжений, создаваемых дыр-
кой. Если дырка симметричная (сферическая), то ij ij Ω = δ и
0 0 3 5
0 0 3 5
1 3 ,
4
1 3 .
2
ik i k
ik
ik i k
ik
x x
v n
r r
x x
Gv n
r r
δ⎛ ⎞
ε = δ − ⎜ ⎟
π ⎝ ⎠
δ⎛ ⎞
σ = δ − ⎜ ⎟
π ⎝ ⎠
(19)