Н.Е. Зубов, А.В. Лапин, Е.А. Микрин
8
С помощью вышеназванного пакета символьных вычислений
установлено, что rank[B, AB, …, F
5
B] = 6, т. е. САР (3.4) с парамет-
рами (2.4) полностью управляема согласно критерию Калмана.
Требуется найти закон управления
Δ
u
= –
K
Δ
x
, характеризуе-
мый матрицей регулятора по состоянию
3 6
×
∈
K
, такой, чтобы
все шесть элементов
λ
i
спектра ЗСАР
(
)
eig
− =
A BK
(
)
{
}
: det
0
i
i
= λ ∈
λ − + =
6
E A BK
лежали в открытой левой полу-
плоскости на комплексной плоскости , т. е. для любого
i
выполня-
лось неравенство Re
λ
i
< 0.
Для решения поставленной задачи воспользуемся следующими
матрицами:
⊥
B
— левый полуортогональный делитель нуля,
+
B
—
псевдообратная матрица Мура — Пенроуза [8], для которых, соот-
ветственно, выполняются соотношения
(
)
(
)
T
T
T
,
,
,
,
,
.
⊥
⊥ ⊥
×
+
+ +
+
+
+
+
+
=
=
=
=
=
=
3 3
3
B B 0
B B E
BB B B B BB B B B B B BB BB
Введем в рассмотрение двухуровневую декомпозицию системы
(3.4) по схеме, изложенной в [2], учитывая, что ранг каждой их вводи-
мых матриц
B
0
и
B
1
совпадает с соответствующим числом столбцов:
нулевой уровень
,
,
=
=
0
0
A A B B
первый уровень
T
,
.
⊥ ⊥
⊥
=
=
1
0 0 0
1
0 0 0
A B A B B B A B
Тогда требуемое управление, согласно [2], определится выражением
(
)
(
)
+
⊥
+
⊥
= = +
⋅
− ⋅
+
0
0
1 0
0
0
0
1 0
K K B K B A Φ B K B
,
(4.7)
где
+
+
= −
1
1 1
1 1
K B A Φ B
, а матрицы
Φ
0
и
Φ
1
удовлетворяют тождеству
(
)
( )
( )
eig
eig
eig
− =
0
1
A BK Φ Φ
∪
, т. е. собственные значения матриц
Φ
0
и
Φ
1
являются корнями характеристического полинома ЗСАР
det(
λ
E
6
–
A
+
BK
).
Назначим три пары действительных (в том числе равных) либо
комплексно-сопряженных чисел (
λ
γ
0
,
λ
γ
1
), (
λ
ψ
0
,
λ
ψ
1
), (
λ
ϑ
0
,
λ
ϑ
1
), обра-
зующих желаемый спектр ЗСАР, а матрицы
Φ
0
и
Φ
1
зададим такими,
что eig(
Φ
0
) = {
λ
γ
0
,
λ
ψ
0
,
λ
ϑ
0
} и eig(
Φ
1
) = {
λ
γ
1
,
λ
ψ
1
,
λ
ϑ
1
}. На основании
выражения (4.1) в MATLAB можно рассчитать матрицу регулятора
по состоянию
