Об одном методе решения задачи синтеза законов управления угловым движением…
7
−
×
×
⎡ ⎤ ⎡
⎤ ⎡ ⎤
= −
⋅
⎢ ⎥ ⎢
⎥ ⎢ ⎥
⎣
⎦ ⎣ ⎦
⎣ ⎦
1
уст
уст
3 3
3 3
x
A,
B N
ξ
u
C, 0
0
.
(3.3)
В новых переменных уравнение (2.3) приобретает вид
.
Δ = Δ + Δ
x A x B u
(3.4)
Предположим, что некоторым образом найдено управление
Δ
u
= –
K
Δ
x
с матрицей регулятора по состоянию
K
размерности 3
×
6,
обеспечивающее требуемое расположение корней ЗСАР. Тогда, со-
гласно определению переменных
Δ
x
и
Δ
u
, очевидно, что
u
=
= –
Kx
+ (
Kx
уст
+
u
уст
), т. е., возвращаясь к прежним переменным, с
учетом (3.4) можно получить искомое управление
[
]
.
−
×
×
⎡
⎤ ⎡ ⎤
= − −
⋅
⋅
⎢
⎥ ⎢ ⎥
⎣
⎦ ⎣ ⎦
1
3
3 3
3 3
A,
B N
u Kx K, E
ξ
C, 0
0
(3.5)
Символом
E
n
обозначена единичная матрица порядка
n
. Отметим,
что управление может быть вычислено по формуле (3.5) тогда и
только тогда, когда выполняется соотношение (3.2).
Применительно к рассматриваемой задаче об угловом движении
ВА матрицы
A
,
B
и
N
, а также вектор
ξ
в формуле (3.5) определяются
согласно (2.4), а матрица регулируемых параметров имеет вид
C
= [
E
3
,
0
3
×
3
]. Подставив указанные значения параметров в формулу
(3.5) и проведя соответствующие расчеты в пакете символьных вы-
числений Symbolic Math Toolbox (среда MATLAB) [7], окончательно
получим тождество
.
= − −
u ξ Kx
(3.6)
Матрицу
K
, входящую в запись выражения (3.6), определим ме-
тодом точного размещения полюсов согласно алгоритму, изложен-
ному в [2].
4. Алгоритм точного размещения полюсов.
Пусть задана ли-
нейная многомерная САР (3.4) с параметрами (2.4), вектором состоя-
ния
6
Δ ∈
x
и вектором управления
3
Δ ∈
u
, где — множество
действительных чисел. Из (2.4) видно, что ранг матрицы управления
6 3
×
∈
B
равен числу ее столбцов (входные сигналы линейно незави-
симы). Матрица состояния
6 6
×
∈
A
заведомо неустойчива, посколь-
ку среди ее шести
( 1...6)
=
i
собственных значений в спектре
( )
(
)
{
}
eig
: det
0
i
i
= λ ∈
λ − =
6
A
E A
обязательно найдутся такие
значения
i
λ
~
из множества комплексных чисел , что
Re 0
i
λ >
.
