Сравнительный анализ решений асимптотической теории многослойных тонких пластин …
7
В систему осредненных определяющих соотношений (15) входят
деформации нулевого приближения
(0)
KL
(10), кривизны
KL
и гради-
енты деформаций
(0)
,
:
KL N
(0)
3,
KL
KL
u
,
(0)
(0)
(0)
,
,
,
1 (
),
2
IJ K
I JK J IK
u u
(18)
которые зависят от трех функций
(0)
,
I
u
(0)
3
,
u
глобальных переменных
I
x
Подставляя далее выражения (10), (17) в (18), а затем (15) в (13),
получим систему осредненных уравнений равновесия пластины от-
носительно трех неизвестных функций
(0)
,
I
u
(0)
3
:
u
(0)
(0)
(0)
,
3,
,
(0)
(0)
(0)
,
3,
,
0,
.
IJKL K LJ
IJKL KLJ
IJKLM K LMJ
IJKL K LJI
IJKL KLJI
IJKLM K LMJI
C u
B u
K u
B u
D u
K u
p
(19)
Эта система имеет четвертый порядок относительно прогиба
(0)
3
,
u
как в классической теории пластин Кирхгофа – Лява, и третий поря-
док производных относительно продольных перемещений
(0)
,
I
u
чем
отличается от теории Кирхгофа – Лява.
Напряжения в пластине.
После того как решена осредненная
задача (18) и найдены функции
(0)
,
I
u
(0)
3
,
u
вычисляем деформации
(10), а затем напряжения
(0)
IJ
по формуле:
(0)
(0) (0)
IJ
IJKL KL
C
. Сдвиго-
вые напряжения
(0)
3
I
и поперечное напряжение,
(0)
33
,
как было уста-
новлено в [20], в пластине тождественно равны нулю. Ненулевые
значения сдвиговых напряжений появляются у следующего члена
асимптотического разложения –
(1)
3
.
I
Для поперечного напряжения
первое в асимптотическом ряду ненулевое значение – это значение
(2)
33
. В результате, сохраняя в асимптотическом разложении (6) толь-
ко главные ненулевые члены и отбрасывая члены более высокого по-
рядка малости, получим следующие выражения для всех шести ком-
понент тензора напряжений:
(0)
,
IJ
IJ
2
(1)
(1)
3
33
3 ,
3 ,
0,5
(2)
(2)
3 ,
3 ,
0,5
(
)
(
( 0,5)
(
) ),
J J
J J
J J
J J
d
p p
d
(20)
