Сравнительный анализ решений асимптотической теории многослойных тонких пластин …
5
(0)
(0)
(0)
,
,
1 (
),
2
KL
K L L K
u u
(10)
а также функции, относящиеся к известным величинам
1
1
3 3 3
3 3 3
0,5
0,5
( ) 2(
).
iKL
i j
j KL
i j
j KL
U
C C d
C C d
(11)
Полученные выражения (8) и (9) для многослойных пластин
близки по характеру распределения перемещений по толщине к тео-
рии ломаной нормали Э.И. Григолюка [1], в которых похожие выра-
жения принимаются как гипотезы. Тем не менее имеется и отличие
(8), (9) от формул для перемещений из [1], заключающееся в нели-
нейной зависимости перемещений
k
u
от «толщинной» координаты
,
наличие которой обусловлено различием модулей упругости для раз-
ных слоев пластины.
Осредняя выражения (8) и (9) по толщине с учетом (7) и (11), по-
лучим, что
(0)
I
I
u u
,
(0)
3
3
u u
,
(12)
т. е. перемещения нулевого приближения
(0)
k
u
являются средними по
толщине перемещениями пластины и, вообще говоря, могут не совпа-
дать с перемещениями срединной поверхности пластины
0
,
k
u
отно-
сительно которых, как правило, в теории пластин и формулируются
кинематические допущения в приближенных теориях пластин. Пере-
мещения
0
k
u
и
(0)
I
I
u u
совпадают для однослойных пластин.
Отметим также, что в классической теории пластин С.П. Тимо-
шенко функции
( )
IKL
U
полагают равными нулю [21].
Осредненные уравнения равновесия многослойных пластин.
Для вычисления
перемещений нулевого приближения
(0)
,
k
u
согласно
разработанному методу [20], получим осредненные уравнения равно-
весия тонких пластин:
,
0
IJ J
T
,
,
J J
Q p
,
,
0,
IJ J
I
M Q
(13)
которые по форме совпадают с традиционными уравнениями теории
тонких пластин, где
IJ
T
– усилия;
IJ
M
– моменты и
I
Q
– перерезы-
вающие силы;
2
p
p
,
p p p
.
