Сравнительный анализ решений асимптотической теории многослойных тонких пластин …
3
Рассмотрим для пластины трехмерную задачу линейной теории
упругости [21]:
3
3
3
3
3
0,
1
,
2
,
:
,
:
,
: [ ] 0,
[ ] 0,
j ij
ij
j i
i j
ij
ijkl kl
i
i
T i
ei
S
i
u u
C
p
u u
u
(2)
состоящую из уравнений равновесия, соотношений Коши, обобщен-
ного закона Гука, граничных условий на внешних поверхностях пла-
стины оболочки – на внешней и внутренней поверхности
3
(их
уравнение имеет вид
3
/ 2
x h
) и на торцевой поверхности
T
, а
также граничных условий на поверхности контакта
S
слоев пла-
стины (
[ ]
i
u
– скачок функций), которые могут и отсутствовать,
например, для однослойной пластины.
В уравнениях (2) обозначены:
ij
– компоненты тензора напряже-
ний;
ij
– компоненты тензора деформаций;
j
u
– компоненты вектора
перемещений;
/
j
j
x
– оператор дифференцирования по декар-
товым координатам;
( )
ijkl
C
– компоненты тензора модулей упруго-
сти, который полагается зависящим от координаты
3
,
так как
этот тензор различен для разных слоев пластины. Никакого специ-
ального допущения об анизотропии материалов слоев пока не дела-
ем, т. е. тензоры модулей упругости имеют по 21 независимой ком-
поненте [21].
Далее принимаем основное допущение, состоящее в том, что
давление
p
на внешней и внутренней поверхностях пластины имеет
порядок малости
3
( ):
O
3
p
p
,
0
(1)
p O E
,
(3)
где
0
E
– характерное значение модуля упругости материала пластины
(размерная величина);
(1)
O
– безразмерная величина, порядок кото-
рой не превышает 1. Допущение (3), как правило, соответствует ре-
альным условиям нагружения тонких пластин, числовой пример для
пластины из стеклотекстолита приведен далее.
Асимптотические разложения.
Задача (2) содержит локальную
координату
,
а также малый параметр
в граничных условиях (это
