Ю.И. Димитриенко, Д.О. Яковлев
4
коэффициент при давлении), поэтому ее решение ищем в виде
асимптотических разложений по параметру
в виде функций, зави-
сящих от глобальных и локальной координат:
(0)
(1)
2 (2)
3 (3)
( )
( , )
( , )
( , ) ...,
k
I
I
I
I
k
k
k
k
u u x
u x
u x
u x
(4)
(0)
(1)
2 (2)
...,
ij
ij
ij
ij
(5)
(0)
(1)
2 (2)
...
ij
ij
ij
ij
(6)
Здесь и далее индексы, обозначенные заглавными буквами
, , , ,
I J K L
принимают значения 1, 2, а индексы
, , ,
i j k l
– значения 1, 2, 3.
Далее будем использовать обозначения для производных по ло-
кальной координате
(1)
(1)
/3
/
i
i
u
u
и по глобальным координатам
(1)
(1)
,
/
,
j
i j
i
u u x
введем также операцию осреднения по толщине
пластины
0,5
(1)
(3)
0,5
.
i
i
u
u d
(7)
Перемещения в пластине.
Подставляя асимптотические разло-
жения (4)–(6) в систему уравнений (2) и собирая в ней члены при
одинаковых степенях от
,
получим рекуррентную последователь-
ность специальных локальных задач теории упругости 0-, 1-, 2- и 3-го
и т. д. приближений для нахождения всех членов асимптотических
разложений (4)–(6). Подробности этого метода изложены в [20]. Для
перемещений все члены разложения выше 0-го приближения, т. е.
(1) (2) (3)
,
,
, ...
k k
k
u u u
являются линейными функциями от нулевого при-
ближения
(0)
k
u
и его производных:
(0)
/
k I
u
,
(0)
/
k IK
u
и т. д. После подстанов-
ки всех этих выражений для
(1) (2) (3)
,
,
, ...
k k
k
u u u
в асимптотическое раз-
ложение (4), после удерживания только главных членов ряда (более
высокие асимптотики отбрасываем) получим, что перемещения в
пластине с точностью до членов 2-го порядка малости имеют вид
(0)
(0)
(0)
3,
(
( ))
I
I
I
KL IKL
u u
u
U
,
(8)
(0)
(0)
3 3
3
( )
KL KL
u u
U
,
(9)
где обозначены деформации срединной поверхности пластины в ну-
левом приближении
