Об аппроксимативных свойствах некоторых модулей полианалитического типа
гомеоморфизма замкнутого круга
D
на
W
. Справедливо следующее
утверждение, непосредственно вытекающее из теоремы 1.
Следствие 1.
Пусть
W
и
3
такие, как указано выше,
∈
[1
,
∞
]
,
>
1
— целое число, а
w
=
w
(
3
(0)
,
·
,
W
)
— гармоническая ме-
ра на
W
, рассматриваемая относительно точки
3
(0)
∈
W
. То-
гда
(
w
;
1
, . . . ,
) = (
w
)
, где
1
, . . . ,
— такие целые чис-
ла, что
1
6
1
< . . . <
, если и только если
W
не является
-неванлинновской областью, где — наибольший общий делитель
чисел
1
, . . . ,
.
Структура пространства
2
(
3
;
1
, . . . ,
)
⊥
.
Всюду в этом
разделе будем считать, что целые числа
>
1
и
1
, . . . ,
,
1
6
1
<
< . . . <
, фиксированы, а — наибольший общий делитель чисел
1
, . . . ,
.
Утверждение теоремы 1 интересно рассмотреть подробнее в слу-
чае, когда
= 2
. При этом
2
— гильбертово пространство со скаляр-
ным произведением
⟨
,
⟩
=
∫︀
T
(
z
) (
z
)
ℓ
(
z
)
, а структура ортогональ-
ного дополнения к
2
(
3
;
1
, . . . ,
)
допускает достаточно простое
явное описание.
Используем следующие стандартные обозначения:
*
— оператор,
сопряженный к оператору ,
ker
— ядро оператора ,
⊥
— ортого-
нальное дополнение к подмножеству
⊂
2
.
Для функции
3
∈
∞
рассмотрим оператор умножения
3
:
↦
→
3
,
действующий в пространстве
2
. Нам также понадобится оператор
проектирования Рисса
:
2
→
2
, действующий следующим об-
разом: если
=
∞
∑︀
=
−∞
g
, то
=
∞
∑︀
=0
g
. Определим также
оператор Т¨eплица
3
:
2
→
2
, действующий следующим образом
3
:
↦
→
(
3
)
при
∈
2
. Другими словами,
3
=
3
.
Напомним также, что
2
0
— подпространство, состоящее из таких
функций
ℎ
класса
2
, голоморфное продолжение которых в
D
обла-
дает свойством
ℎ
(0) = 0
. Пусть также
2
0
=
{
ℎ
:
ℎ
∈
2
0
}
. Хорошо
известно, что пространство
2
разлагается в прямую сумму ортого-
нальных подпространств:
2
=
2
⊕
2
0
.
Это разложение позволяет представлять операторы, действующие
в пространстве
2
в виде операторных
2
×
2
-матриц. Такое представле-
ние мы будем называть матричным представлением рассматриваемых
операторов.
Теперь пусть
3
— фиксированная функция класса
∞
(
D
)
. В этом слу-
чае матричное представление операторов
3
и
*
3
=
3
соответ-
ственно имеет вид
3
=
(︂
3 3
0
3
)︂
,
*
3
=
(︂
*
3
0
*
3
*
3
)︂
.
9
