К.Ю. Федоровский
рассматриваемое относительно нормированной меры Лебега
ℓ
на
T
.
Напомним, что
ℓ
(
z
) =
|
z
|
/
(2
p
)
и заметим, что
z
= 2
p z
ℓ
(
z
)
.
Всюду в дальнейшем, если иное не оговорено специально, выраже-
ние «почти всюду» будет пониматься по отношению к мере
ℓ
.
Как обычно, пространство
(
D
)
, где
D
=
{ ∈
C
:
| |
<
1
}
—
единичный круг в
C
, — классическое пространство Харди в круге
D
.
Напомним, что пространство
(
D
)
при
<
∞
состоит из всех голо-
морфных функций в круге
D
таких, что
lim
→
1
∫︁
T
|
(
z
)
|
ℓ
(
z
)
<
∞
,
а пространство
∞
(
D
)
— из всех голоморфных и ограниченных в
D
функций. При всех
> >
1
справедливы включения
∞
(
D
)
⊂
(
D
)
⊂
(
D
)
⊂
1
(
D
)
и
(
D
)
⊂
(
D
)
,
где символом
(
D
)
обозначен класс Неванлинны в круге
D
. Опуская
формальное определение этого класса, напомним, что всякая функция
∈
(
D
)
имеет вид
=
1
/
2
, где
1
,
2
∈
∞
(
D
)
.
Далее определим класс
= (
T
)
, состоящий из всех функций
∈
таких, что
ˆ( ) :=
∫︀
T
(
z
)
z
ℓ
(
z
) = 0
для всех целых чисел
<
0
. Если — функция класса
(
D
)
при
∈
[1
,
∞
]
, то, согласно
классической теореме Фату, для почти всех точек
z
∈
T
существуют
угловые граничные значения (или, другими словами, некасательные
предельные значения)
(
z
)
функции в точке
z
. Эти значения опре-
деляют функцию из класса , называемую граничной функцией для
функции , а отображение, ставящее функции
∈
(
D
)
в соответ-
ствие ее граничную функцию, является изометрическим изоморфиз-
мом пространств
(
D
)
и . При
=
∞
это отображение являет-
ся
*
-слабым гомеоморфизмом. Всюду в дальнейшем функции класса
(
D
)
и их граничные функции обозначены одним и тем же символом.
Пусть
3
∈
∞
(
D
)
, а
>
1
— целое число и
(
1
, . . . ,
)
∈
Z
—
набор целых чисел таких, что
1
6
1
< . . . <
. Определим прост-
ранство
(
3
;
1
, . . . ,
)
следующим образом:
(
3
;
1
, . . . ,
) := +
∑︁
=1
3
.
Пространство
( ;
1
, . . . ,
)
состоит из функций вида
ℎ
0
+
z
1
ℎ
1
+
. . .
+
z
ℎ ,
т. е. из
полианалитических функций
, а его структура очень похожа на
структуру полиномиального модуля
+
z
1
+
· · ·
+
z
. Это поз-
воляет называть пространства
(
3
;
1
, . . . ,
)
(формально говоря не
являющиеся модулями) модулями полианалитического типа.
2
