К.Ю. Федоровский
и
,
3
*
тривиальны или нетривиальны одновременно. В силу форму-
лы (5) ядра операторов
,
3
*
и
′
,
3
также тривиальны или нетриви-
альны одновременно. Таким образом, первое утверждение теоремы 2
доказано.
Теперь докажем второе утверждение теоремы. Пусть
2
(
3
;
1
, . . . ,
) :=
{︀
∈
2
0
:
3
∈
2
0
,
= 1
, . . . ,
}︀
.
Как показано при доказательстве первого утверждения теоремы,
2
(
3
;
1
, . . . ,
) =
⋂︁
=1
ker
′
,
3
.
Проверим, что любой элемент
∈
2
(
3
;
1
, . . . ,
)
будет ортого-
нален к пространству
2
(
3
;
1
, . . . ,
)
. Для этого положим
0
= 0
и заметим, что для любых функций
ℎ
0
, ℎ
1
, . . . , ℎ
∈
2
верно равен-
ство
⟨
,
∑︁
=0
3
ℎ
⟩
=
∑︁
=0
⟨︀
3
, ℎ
⟩︀
,
а так как
⟨︀
3
,ℎ
⟩︀
=0
при
∈
2
(
3
;
1
, . . . ,
)
, то
⊥
2
(
3
;
1
, . . . ,
)
.
Обратно, пустьфункция
∈
2
ортогональна пространству
2
(
3
;
1
, . . . ,
)
.
Тогда для любого
∈ {
0
,
1
, . . . ,
}
справедливо равенство (как и вы-
ше считаем, что
0
= 0
)
0 =
⟨︀
,
3
ℎ
⟩︀
=
⟨︀
3
, ℎ
⟩︀
,
верное для любой функции
ℎ
∈
2
. В силу этих равенств функ-
ции
,
3
1
, . . . ,
3
принадлежат пространству
2
0
, а это в точности
означает, что
∈
2
(
3
;
1
, . . . ,
)
.
Завершающие замечания.
Приведем один простой пример, ил-
люстрирующий полученные результаты. Пусть
∈
C
, причем
| |
>
1
.
Напомним, что функция
2
( ) =
√ −
, рассмотренная выше, об-
ладает тем свойством, что функция
2
2
допускает псевдопродолжение
неванлинновского типа, а сама функция
2
— нет. Согласно теореме 1,
пространство
2
(
2
; 2
,
3)
плотно в пространстве
2
, а пространство
2
(
2
; 4
,
6)
— нет. В самом деле, при
1
= 2
и
2
= 3
получаем, что
= 1
, а функция
2
не допускает псевдопродолжения неванлиннов-
ского типа. Если
1
= 4
, а
2
= 6
, то
= 2
и функция
2
2
( ) =
−
допускает требуемое псевдопродолжение. Отметим также, что прост-
ранство
2
(
2
; 2)
также не плотно в пространстве
2
.
Более того, применяя теорему 2 получаем
2
(
2
; 2)=
{︁
∈
2
0
: =
∞
∑︀
=1
b
,
b
1
= 0
}︁
,
2
(
2
; 4
,
6)=
2
(
2
; 6)=
{︁
∈
2
0
: =
∞
∑︀
=1
b
,
b
1
=
b
2
=
b
3
= 0
}︁
.
12
