Об аппроксимативных свойствах некоторых модулей полианалитического типа
Таким образом,
2
-замыкания пространств
2
(
2
; 2)
и
2
(
2
; 4
,
6)
не равны. Этот факт вытекает из следующего общего свойства рас-
сматриваемых объектов.
Предложение 2.
Пусть
3
∈
∞
(
D
)
, и, кроме того,
>
1
и
1
, . . . ,
— целые числа, причем
1
6
1
< . . . <
, а —
наибольший общий делитель чисел
1
, . . . ,
. Предположим так-
же, что функция
3
допускает псевдопродолжение неванлинновского
типа, а функция , взятая из соответствующего определения, имеет
нули в
D
.
Если
∈
[1
,
∞
)
, a
=
/
(
−
1)
, то найдется такая функция
∈
, что соответствующий функционал на пространстве ан-
нулирует все пространства
(
3
;
)
при целых
>
1
таких, что
<
, но не пространство
(
3
; )
. Если
=
∞
, то найдет-
ся мера на
T
, ортогональная всем пространствам
∞
(
3
;
)
при
целых
>
1
таких, что
<
, но не пространству
∞
(
3
; )
.
Доказательство.
Так как функция
3
допускает псевдопродол-
жение неванлинновского типа, то, согласно предложению 1, най-
дутся функции
,
∈
∞
(
D
)
такие, что
̸
≡
0
и для почти всех
точек
z
∈
T
справедливо равенство угловых граничных значений
3
(
z
) = (
z
)
/
(
z
)
. Ясно, что функции и можно выбрать так,
что они не будут иметь общих нулей в
D
. По условию функция
имеет нули в круге
D
. Пусть
0
— один из нулей функции в
D
,
а — произведение Бляшке, построенное по всем нулям функции в
D
(с учетом их кратностей). Не приводя определения функции (его
можно найти, например, в разд. 2 гл. II книги [10]), покажем, что
∈
∞
(
D
)
— такая функция, что нули — это в точности нули
функции (с учетом их кратности) и для почти всех точек
z
∈
T
справедливо равенство
|
(
z
)
|
= 1
.
Пусть числа
=
/
при
= 1
, . . . ,
. Определим функцию
на
T
следующим образом:
(
z
) =
(︂
2
p z
(
z
)
−
1
(
z
)
z
−
0
)︂
.
При этом
∈
∞
, следовательно,
∈
и для любого целого числа
,
0
6
<
, и функции
ℎ
∈
выполняется равенство
∫︁
T
ℎ
(
z
)
3
(
z
) (
z
)
ℓ
(
z
) =
∫︁
T
ℎ
(
z
) (
z
) (
z
)
− −
1
(
z
)
z
−
0
z
= 0
,
вытекающее из интегральной теоремы Коши (так как
<
, то точ-
ка
0
является устранимой особой точкой для подинтегральной функ-
ции в последнем интеграле). Однако
∫︁
T
ℎ
(
z
)
3
(
z
) (
z
)
ℓ
(
z
) =
∫︁
T
ℎ
(
z
) (
z
) (
z
)
(
z
)(
z
−
0
)
z
̸
= 0
13
