Об аппроксимативных свойствах некоторых модулей полианалитического типа
и, при
=
/
,
= 1
, . . . ,
, а
0
=
0
= 0
∫︁
T
(︁∑︁
=0
ℎ
(
z
)
3
(
z
)
)︁
(
z
)
ℓ
(
z
)=
∫︁
T
(︁∑︁
=0
ℎ
(
z
) (
z
) (
z
)
−
)︁
ℓ
(
z
)=0
.
Если мы определим на
T
функции
0
(
z
) = 2
p z
(
z
)
и
(
z
) = 2
p z
(
z
)
,
то
0
,
∈
∞
и
0
,
̸
≡
0
(так как
̸
≡
0
). Поскольку функция
3
до-
пускает псевдопродолжение неванлинновского типа, то существуют
линейные функционалы на пространстве , аннулирующие прост-
ранства
(
3
; )
и
(
3
;
1
, . . . ,
)
соответственно. Таким образом,
оба эти пространства не плотны в .
Обратно, пусть пространство
(
3
; )
не плотно в . Тогда най-
дется функционал на пространстве , аннулирующий
(
3
; )
. Дру-
гими словами, найдется функция
∈
,
=
/
(
−
1)
такая, что
̸
≡
0
и
∫︁
T
(︀
ℎ
0
(
z
) +
3
(
z
)
ℎ
1
(
z
)
)︀
(
z
)
ℓ
(
z
) = 0
(1)
для всех функций
ℎ
0
, ℎ
1
∈
. Рассмотрим функцию
y
=
∈
.
Полагая в равенстве (1)
ℎ
0
≡
z
при целых
>
0
и
ℎ
1
≡
0
, находим,
что при целых
<
0
̂︀
y
( ) =
∫︁
T
y
(
z
)
z
ℓ
(
z
) =
∫︁
T
y
(
z
)
z
−
ℓ
(
z
) = 0
.
Из последнего равенства вытекает, что
y
∈
. Далее, полагая
в формуле (1)
ℎ
0
≡
0
и
ℎ
1
≡
z
при целых
>
0
и рассуждая анало-
гично, получаем, что функция
y
1
=
3 y
∈
, так как
̂︀
y
1
( ) = 0
при
всех целых
<
0
.
Отметим, что
y
,
y
1
̸
≡
0
и для почти всех
z
∈
T
выполняется ра-
венство
3
(
z
) =
y
1
(
z
)
/
y
(
z
)
. Поскольку функции
y
и
y
1
принадлежат
пространству , они являются граничными функциями для соответ-
ствующих функций класса
(
D
)
. Так как класс
(
D
)
⊂
(
D
)
(класс
Неванлинны в
D
) и всякую функцию класса Неванлинны можно пред-
ставить в виде отношения двух голоморфных ограниченных функций,
то найдутся такие функции
,
∈
∞
(
D
)
, что для почти всех точек
z
∈
T
выполняется равенство
3
(
z
) =
(
z
)
(
z
)
.
В силу предложения 1 это эквивалентно возможности псевдопродол-
жения неванлинновского типа функции
3
.
Если пространство
(
3
;
1
, . . . ,
)
не плотно в , рассуждая
аналогично, получаем, что функции
3
при
= 1
, . . . ,
допускают
псевдопродолжение неванлинновского типа. Пусть функции
1
,
и
2
,
класса
∞
(
D
)
таковы, что для почти всех точек
z
∈
T
выполняют-
ся равенства
3
(
z
) =
1
,
(
z
)
/
2
,
(
z
)
, понимаемые в смысле угловых
5
