Об аппроксимативных свойствах некоторых модулей полианалитического типа
Нас будет интересовать задача описания тех функций
3
∈
∞
(
D
)
,
для которых пространства
(
3
;
1
, . . . ,
)
плотны в пространстве
. Эта задача, как показано выше, естественно связана с задачей
аппроксимации функций полианалитическими многочленами вида
0
( ) +
1
1
( ) +
. . .
+ ( )
, где
0
, . . . ,
∈
, в -норме на
границах плоских односвязных областей, причем соответствующее
пространство рассматривается относительно гармонической меры
на границе данной области.
Псевдопродолжение функций класса
∞
(
D
)
.
Пусть
D
=
C
∖
D
—
внешность единичного круга, а
∞
(
D
)
— множество голоморфных
и ограниченных в
D
функций. Как и в случае функций класса
∞
(
D
)
,
для любой функции
∈
∞
(
D
)
и для почти всех точек
z
∈
T
суще-
ствуют угловые граничные значения
(
z
)
функции в точке
z
, рас-
сматриваемые относительно области
D
.
Напомним понятие
псевдопродолжения неванлинновского типа
для голоморфных и ограниченных функций (см. определение 2 в [2]).
Определение 1.
Скажем, что функция
∈
∞
(
D
)
допускает псев-
допродолжение неванлинновского типа, если существуют две функ-
ции
1
и
2
класса
∞
(
D
)
такие, что
2
̸
≡
0
и для почти всех
точек
z
∈
T
выполняется равенство угловых граничных значений
(
z
) =
1
(
z
)
/
2
(
z
)
.
Это определение является частным случаем общего понятия псевдо-
продолжения, введенного в работе [3] (см. также определение 2.1.2 в [4]).
Всюду в дальнейшем для произвольной функции
y
положим
y
*
( ) =
y
( )
для всех тех , для которых
y
*
определена.
Для работы с псевдопродолжимыми функциями нам потребует-
ся следующее утверждение, описывающее псевдопродолжение неван-
линновского типа в терминах функций, определенных в
D
.
Предложение 1.
Пусть
∈
∞
(
D
)
. Тогда функция допускает
псевдопродолжение неванлинновского типа в том и только том слу-
чае, когда найдутся две функции
,
∈
∞
(
D
)
такие, что
̸
≡
0
и для
почти всех точек
z
∈
T
выполняется равенство угловых граничных
значений
(
z
) = (
z
)
/
(
z
)
.
Доказательство.
Предположим, что функция допускает псевдо-
продолжение неванлинновского типа, и функции
1
и
2
взяты из
соответствующего определения. При
| |
<
1
положим
( ) := (
1
)
*
(1
/
)
и
( ) := (
2
)
*
(1
/
)
, так что
,
∈
∞
(
D
)
. Если
z
∈
T
такая точка,
в которой угловые предельные значения всех рассматриваемых функ-
ций существуют (такие точки имеют полную меру на
T
), то, при нека-
сательном стремлении
∈
D
к
z
, имеем
( )
( )
=
(
1
)
*
(1
/
)
(
2
)
*
(1
/
)
=
(︂
1
(
′
)
2
(
′
)
)︂
→
(
z
)
,
поскольку
′
= 1
/
∈
D
стремиться к
z
некасательно.
3
