Об аппроксимативных свойствах некоторых модулей полианалитического типа
Полагая в равенстве (2)
ℎ
0
(
z
) =
z
при целых
>
0
и
ℎ
1
≡
0
, а также
ℎ
0
≡
0
и
ℎ
1
(
z
) =
z
при целых
>
0
получаем, что меры
m
и
3 m
орто-
гональны пространству . Из этого в силу классической теоремы бра-
тьев Рисс вытекает, что найдутся функции
1
∈
1
(
D
)
и
2
∈
1
(
D
)
такие, что
m
(
z
) =
1
(
z
)
z
и
3
(
z
)
m
(
z
) =
2
(
z
)
z
, причем
1
̸
≡
0
и
2
̸
≡
0
, так как
m
̸
≡
0
. Из двух последних равенств вытекает, что
для почти всех точек
z
∈
T
справедливо равенство
3
(
z
)
1
(
z
) =
2
(
z
)
,
понимаемое в смысле угловых граничных значений. Таким образом
3
(
z
) =
2
(
z
)
/
1
(
z
)
. Заменив отношение
2
/
1
функций класса
1
(
D
)
на отношение
/
двух функций класса
∞
(
D
)
и применив пред-
ложение 1, получим, что функция
3
допускает псевдопродолжение
неванлинновского типа.
Пусть пространство
∞
(
3
;
1
, . . . ,
)
не
*
-слабо плотно в
∞
(
T
)
.
Рассуждая аналогично тому, как это было сделано при рассмотрении
пространства
∞
(
3
; )
, можно установить, что существует ненуле-
вая мера
m
на
T
, ортогональная к пространству и такая, что меры
3 m
при
= 1
, . . . ,
тоже ортогональны к пространству . Из этого
факта вытекает, что функции
3
при
= 1
, . . . ,
допускают псев-
допродолжение неванлинновского типа. Наконец, из существования
целых чисел
1
, . . . ,
таких, что
=
1 1
+
. . .
+
и из возможно-
сти псевдопродолжения функций
3
при
= 1
, . . . ,
вытекает, что
и функция
3
допускает псевдопродолжение неванлинновского типа
(см. доказательство первого утверждения).
Рассмотрим одно следствие теоремы 1, которое представляется
весьма интересным и полезным. Для этого при целых
>
1
нам пот-
ребуется понятие -
неванлинновской
области, которое обобщает опре-
деление 2.1, приведенное в работе [5].
Определение 2.
Пусть
>
1
— целое число. Ограниченная од-
носвязная область
W
в
C
называется -
неванлинновской
, если суще-
ствуют такие голоморфные и ограниченные в
W
функции и , что
̸
≡
0
и равенство
=
( )
( )
(3)
выполняется почти всюду на
W
в смысле конформного отображе-
ния. Последнее означает, что если
3
— это некоторое конформное
отображение единичного круга
D
на область
W
, то для почти всех
точек
z
∈
T
справедливо равенство угловых граничных значений
3
(
z
) = (
3
(
z
))
/
(
3
(
z
))
.
Это определение корректно в том смысле, что оно не зависит от
выбора конформного отображения
3
. Отметим, что в силу граничной
теоремы единственности Лузина — Привалова
отношение
/
опре-
делено в области
W
(для -неванлинновской области
W
) единствен-
ным образом. В случае, когда
W
— жорданова область со спрямляемой
7
