Об аппроксимативных свойствах некоторых модулей полианалитического типа
ℎ
∈
2
таких, что
3
*
((
ℎ,
0)) = (
*
ℎ,
0)
или, что эквивалентно, из
всех тех
ℎ
∈
2
, для которых
3
*
ℎ
∈
2
. Остается заметить, что
{︀
ℎ
∈
2
:
3
*
ℎ
∈
2
}︀
=
{︀
ℎ
∈
2
:
3
ℎ
∈
2
}︀
.
Ядро оператора
′
,
3
вычисляется аналогично. Поскольку
3
(
ℎ,
) =
= (
ℎ
+
,
*
)
, имеем
ker
′
,
3
= ker =
{︀
∈
2
0
:
= 0
}︀
=
=
{︀
∈
2
0
:
3
((0
,
)) = (0
,
*
,
)
}︀
=
=
{︀
∈
2
0
:
3
∈
2
0
}︀
=
{︀
∈
2
0
:
3
∈
2
0
}︀
.
Перейдем к доказательству эквивалентности утверждений а), б)
и в). Докажем, что утверждения а) и в) эквивалентны, т. е. простран-
ство
ker
,
3
̸
=
∅
, если и только если функция
3
допускает псевдоп-
родолжение неванлинновского типа.
Пусть
ker
,
3
̸
=
∅
. Это означает, что существует функция
ℎ
∈
2
такая, что
ℎ
̸
≡
0
и
ℎ
1
=
3
ℎ
∈
2
, следовательно,
3
=
ℎ
1
/ℎ
. Так
как
2
(
D
)
⊂
(
D
)
, то найдутся две функции
,
∈
∞
(
D
)
такие,
что для почти всех точек
z
∈
T
выполняется равенство угловых гра-
ничных значений
3z
=
ℎ
1
(
z
)
/ℎ
(
z
) = (
z
)
/
(
z
)
. Из этого с учетом
предложения 1 вытекает, что функция
3
допускает псевдопродолже-
ние неванлинновского типа.
Обратно, если функция
3
допускает псевдопродолжение неван-
линновского типа, то, согласно предложению 1, существуют две функ-
ции
,
∈
∞
(
D
)
такие, что
̸
≡
0
и
3
(
z
) = (
z
)
/
(
z
)
для почти
всех
z
∈
T
(равенство, как и ранее, понимается в смысле угловых гра-
ничных значений). Это означает, что
∈
2
и
3
=
∈
2
, т. е.
∈
ker
,
3
. Так как
̸
≡
0
, то
ker
,
3
̸
=
∅
.
Теперь покажем, что эквивалентны утверждения а) и б). Отметим,
что оператор
3
=
*
3
удовлетворяет соотношению
3
=
3
*
,
(4)
где оператор в
2
определяется следующим образом:
( )( ) = ( )
при
∈
2
. При этом
*
=
и
2
=
(тождественный оператор). На-
помним, что функция
y
*
определяется соотношением
y
*
( ) =
y
( )
(для всех тех значений , для которых она определена). Из равен-
ства (4) вытекает, что
=
3
=
3
*
,
а из последнего равенства непосредственно следует, что
′
,
3
= [
*
,
] =
(︀
*
3
*
3
*
−
3
*
*
3
*
)︀
=
,
3
*
.
(5)
Так как функции
3
и
3
*
допускают или не допускают псевдопродол-
жение неванлинновского типа одновременно, то ядра операторов
,
3
11
