УДК 517.538.5+517.547.54
Об аппроксимативных свойствах некоторых модулей
полианалитического типа
c
○
К.Ю. Федоровский
МГТУ им. Н.Э. Баумана, Москва, 105005, Россия
В работе изучаются задачи аппроксимации функций полианалитическими мно-
гочленами вида
0
( ) +
1
1
( ) +
. . .
+ ( )
, где
0
, . . . ,
— многочлены
комплексного переменного, а
1
6
1
<
2
<
· · ·
<
— целые числа, в норме
пространств на границах плоских односвязных областей. Полученные условия
приближаемости формулируются в терминах аналитических свойств областей,
на которых рассматривается аппроксимация.
Ключевые слова
:
полианалитическая функция, псевдопродолжение неван-
линновского типа,
-аппроксимация.
Введение.
В 1970–80-х годах активно изучался вопрос о плотности
в пространстве
( )
, состоящем из всех непрерывных на компакте
⊂
C
комплекснозначных функций с равномерной нормой, модулей
вида
ℛ
( ) +
z
1
ℛ
( ) +
. . .
+
z
ℛ
( )
,
где
ℛ
( )
— пространство всех рациональных функций комплексно-
го переменного , полюсы которых лежат вне компакта ;
z
( ) =
,
а
>
1
и
1
6
1
<
2
< . . . <
— целые числа. Эти модули есте-
ственно назвать рациональными модулями полианалитического типа.
Историю их изучения и достаточно подробную библиографию, посвя-
щенную этому вопросу, можно найти в обзорной работе [1].
Начиная со второй половины 1980-х годов большой интерес вызы-
вает также задача плотности в пространстве
( )
полиномиальных
модулей вида
+
z
1
+
. . .
+
z
,
где — пространство всех многочленов комплексного переменно-
го, и ее наиболее известный частный случай, в котором
=
при
= 1
, . . . ,
(задача о равномерной приближаемости функций поли-
аналитическими многочленами). История изучения этой задачи, полу-
ченные в ней результаты и характер возникающих условий приближа-
емости подробно описаны в работе [1].
В настоящей статье рассмотрена другая задача похожей природы.
Пусть
∈
[1
,
∞
]
. Всюду в дальнейшем пространство
= (
T
)
—
стандартное пространство Лебега на единичной окружности
T
=
{ ∈
C
:
| |
= 1
}
,
1
