К.Ю. Федоровский
В дальнейшем для упрощения обозначений при целых
>
1
положим
: =
3
,
: = (
*
3
)
и введем операторы
,
3
:= [
*
,
] =
*
−
*
,
′
,
3
:= [
*
,
] =
*
−
*
,
где
[
*
,
] =
*
−
*
— коммутатор операторов
*
и .
Теорема 2.
Пусть
3
∈
∞
(
D
)
.
Тогда справедливы утверждения.
1.
Пусть
>
1
— целое число. Тогда
ker
,
3
=
{
ℎ
∈
2
:
3
ℎ
∈
2
}
,
а
ker
′
,
3
=
{ ∈
2
0
:
3
∈
2
0
}
. При этом следующие условия экви-
валентны:
а)
ker
,
3
̸
=
∅
;
б)
ker
′
,
3
̸
=
∅
;
в) функция
3
допускает псевдопродолжение неванлинновского типа.
2.
Для любых целых
>
1
и
1
, . . . ,
таких, что
1
6
1
< . . . <
2
(
3
;
1
, . . . ,
)
⊥
=
⋂︁
=1
ker
′
,
3
.
Другими словами,
2
(
3
;
1
, . . . ,
)
⊥
=
{ ∈
2
0
:
3
∈
2
0
при
= 1
, . . . ,
}
.
Доказательство.
Первое утверждение этой теоремы можно найти
в работе [9], однако мы приведем соответствующее полное рассужде-
ние, так как оно необходимо для понимания доказательства второго
утверждения теоремы.
Из матричных представлений операторов
3
и
*
3
вытекает, что
3
=
(︂
0
*
)︂
,
3
*
=
(︂
*
0
*
)︂
,
где оператор , действующий из пространства
2
0
в пространство
2
определятся индуктивно:
1
=
3
и
+1
=
3
+
3
при
>
1
.
Пусть
= [
3
*
,
3
]
. Так как
=
3 3
−
3 3
= 0
для
любой функции
∈
2
, то оператор равен нулю, а матричное
представление для оператора имеет вид:
=
(︂
,
3
−
* *
−
*
−
* *
*
−
′
,
3
)︂
,
справедливы операторные равенства
,
3
=
*
и
′
,
3
=
*
. Из
этих равенств вытекает, что
ker
,
3
= ker
*
и
ker
′
,
3
= ker
.
Чтобы вычислить ядро оператора
,
3
запишем произвольный эле-
мент
∈
2
в виде «двумерного» вектора
= (
ℎ,
)
, где
ℎ
=
∈
2
и
=
− ∈
2
0
. При этом
3
*
= (
*
ℎ,
*
ℎ
+ )
. Итак, прост-
ранство
ker
,
3
= ker
*
состоит их всех элементов
ℎ
∈
2
таких,
что
*
ℎ
= 0
. Другими словами, пространство
ker
,
3
состоит их всех
10
