К.Ю. Федоровский
Обратно, если требуемые функции
,
∈
∞
(
D
)
существуют, то
при
| |
>
1
определим функции
1
и
2
так, что
1
( ) :=
*
(1
/
)
и
2
( ) :=
*
(1
/
)
. При этом
1
,
2
∈
∞
(
D
)
. Пусть, как и ранее,
z
— это такая точка на окружности
T
, в которой все рассматривае-
мые функции имеют угловые граничные значения. Если точка
∈
D
некасательно стремится к
z
, получаем, что
1
( )
2
( )
=
*
(1
/
)
*
(1
/
)
=
(︂
(
′
)
(
′
)
)︂
→
(
z
)
,
поскольку
′
= 1
/
∈
D
стремится к
z
некасательно. Таким образом,
функция допускает псевдопродолжение неванлинновского типа.
Отметим, что доказательство предложения 1 может быть получено
практически дословно из доказательства предложения 2.1 в работе
[5], однако оно приведено здесь для удобства читателя и согласования
обозначений.
Основная теорема и ее следствия.
Справедлив следующий кри-
терий плотности пространств
(
3
;
1
, . . . ,
)
в пространстве ,
который формулируется в терминах свойства псевдопродолжения
неванлинновского типа подходящих степеней функции
3
.
Теорема 1.
Пусть
3
∈
∞
(
D
)
, а
>
1
и
1
, . . . ,
— целые числа,
1
6
1
< . . . <
. Пусть также — наибольший общий делитель
чисел
1
, . . . ,
.
1.
Пусть
∈
[1
,
∞
)
. Следующие условия а), б) и в) эквивалентны:
a) пространство
(
3
;
1
, . . . ,
)
не плотно в пространстве ;
б) пространство
(
3
; )
не плотно в пространстве ;
в) функция
3
допускает псевдопродолжение неванлинновского типа.
2.
Следующие условия а
′
) и б
′
):
а
′
) пространство
∞
(
3
;
1
, . . . ,
)
не
*
-слабоплотновпространстве
∞
;
б
′
) пространство
∞
(
3
; )
не
*
-слабо плотно в пространстве
∞
,
и вышеприведенное условие в) эквивалентны.
Доказательство.
Напомним, что пространство линейных функци-
оналов на отождествляется с пространством , где
=
/
(
−
1)
—
соответствующий сопряженный индекс, причем элемент
∈
задает
функционал, который действует по формуле
↦
→
∫︁
T
(
z
) (
z
)
ℓ
(
z
)
.
Докажем первое утверждение. Предположим, что функция
3
допус-
кает псевдопродолжение неванлинновского типа. Пусть
,
∈
∞
(
D
)
такие функции, что
3
(
z
) = (
z
)
/
(
z
)
для почти всех
z
∈
T
(см. пред-
ложение 1). На основании теоремы IX.4.5 [6] получаем, что для лю-
бых функций
ℎ
0
, ℎ
1
, . . . , ℎ
∈
выполняются равенства
∫︁
T
(︀
ℎ
0
(
z
)+
3
(
z
)
ℎ
1
(
z
)
)︀
(
z
)
ℓ
(
z
) =
∫︁
T
(︀
ℎ
0
(
z
) (
z
)+
ℎ
1
(
z
) (
z
)
)︀
ℓ
(
z
) = 0
4
