К.Ю. Федоровский
граничных значений функций
3
,
1
,
и
2
,
из
D
и
D
соответствен-
но. Так как — это наибольший общий делитель чисел
1
, . . . ,
, то
найдутся такие целые числа
1
, . . . ,
, что
=
1 1
+
. . .
+
.
Из этого выражения непосредственно вытекает, что для почти всех
точек
z
∈
T
справедливо равенство угловых граничных значений
3
(
z
) =
∏︀
=1 1
,
(
z
)
∏︀
=1 2
,
(
z
)
,
т. е. что функция
3
допускает псевдопродолжение неванлинновского
типа.
Перейдем к доказательству второго утверждения теоремы. При этом
будем следовать идеям, использованным при доказательстве Теоре-
мы 1 в [7]. Предположим, что функция
3
допускает псевдопродолжение
неванлинновского типа и найдем функции
,
∈
∞
(
D
)
такие, что
̸
≡
0
и
3
(
z
) = (
z
)
/
(
z
)
для почти всех
z
∈
T
(это возможно на
основании предложения 1). Определим меры
n
0
и
n
на
T
следующим
образом:
n
0
(
z
) = 2
p z
(
z
)
ℓ
(
z
) = (
z
)
z
и соответственно
n
(
z
) = 2
p z
(
z
)
ℓ
(
z
) = (
z
)
z
,
где, как и в доказательстве первого утверждения,
=
/
при
= 1
, . . . ,
. При этом
n
0
̸
≡
0
и
n
̸
≡
0
(так как
̸
≡
0
). Отметим,
что для любого целого
= 1
, . . . ,
и любой функции
ℎ
∈
∞
спра-
ведливы равенства
∫︁
T
ℎ
(
z
)
3
(
z
)
n
0
(
z
) =
∫︁
T
ℎ
(
z
) (
z
) (
z
)
z
= 0
и соответственно
∫︁
T
ℎ
(
z
)
3
(
z
)
n
(
z
) =
∫︁
T
ℎ
(
z
) (
z
) (
z
)
−
z
= 0
,
из которых непосредственно вытекает, что мера
n
0
ортогональна простран-
ству
∞
(
3
; )
, а мера
n
— пространству
∞
(
3
;
1
, . . . ,
)
. Таким
образом, пространства
∞
(
3
; )
и
∞
(
3
;
1
, . . . ,
)
не являются
*
-слабо плотными в пространстве
∞
.
Теперь пусть пространство
∞
(
3
; )
не является
*
-слабо плотным
в пространстве
∞
. Тогда существует ненулевая комплекснозначная
борелевская мера
m
на
T
, ортогональная к
∞
(
3
; )
, т. е. для любых
функций
ℎ
0
, ℎ
1
∈
∞
выполняется равенство
∫︁
T
(︀
ℎ
0
(
z
) +
ℎ
1
(
z
)
3
(
z
)
)︀
m
(
z
) = 0
.
(2)
6
