4 / 24
Е.С. Гордиенко
4
Инженерный журнал: наука и инновации
# 9·2017
x
(
j
+1)
=
x
(
j
)
–
(j
)
grad
F
(
x
(
j
)
), (2)
где
(j
)
— шаг спуска, определяемый так, чтобы
F
(
x
(
j
+1)
)<F(
x
(
j
)
) или
чтобы
F
(
(j
)
) была минимизирована в данной точке
x
(
j
)
.
Производные градиента рассчитаны численным способом через
двусторонние разности.
Выполненный численный анализ показал, что поскольку изоли-
нии в задачах разгона и торможения довольно вытянуты, а функция
F
(
x
) имеет «овражный» характер, требуется весьма много итераций
для нахождения минимума. Сходимость в данном случае плохая. За-
дача сходится за несколько часов, а число итераций может достигать
десятков тысяч. Норма градиента от итерации к итерации очень мед-
ленно уменьшается, постепенно стремясь к нулю, задаваемому как
ઽ
,
где
ઽ
= 10
–6
.
Далее используется более эффективный в рассматриваемом слу-
чае оптимизации маневров метод Пауэлла. В рамках такой разновид-
ности квазиньютоновского метода
фазовая точка сдвигается на
k
-м
шаге
х
k
=
x
k–
1
+ λ
k
р
k
, (3)
где начальное положение задается, а шаг
k
определяется, как преж-
де, в результате минимизации функционала (длительности) в данной
точке; направление сдвига
1
grad ( )
,
,
k
k
k
k
k
p A F x
A w k N
(4)
положительно-определенная матрица
А
k
итерационно «подправляет-
ся» с учетом изменения градиента.
Применительно к методу Пауэлла [5]
1
( ) ,
(
,
)
k
k T
k
k
k
k
x x
A A
w x
A
0
=
E
, (5)
где
E
— единичная матрица;
1
1
,
;
grad ( ) grad ( ).
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
x x A w x x x w F x
F x
(6)
Следовательно, в данном случае учитывается информация об из-
менении градиента, хотя и без вычисления вторых производных. За
счет этого сходимость решений улучшается. Задача решается за
100–150 итераций, а время расчета составляет несколько минут.
Использование описанных выше методов оптимизации показало,
что для задачи поиска оптимального трехимпульсного перехода го-
дограф градиента grad
F
(
x
(
j
)
) от итерации к итерации постепенно
уменьшается, стремясь к нулю на плоскости координат (
F
(
x
)/
1
,
x