7 / 16
Перколяционная модель накопления микродефектов и коллапса…
Инженерный журнал: наука и инновации
# 11·2016 7
Геометрическое условие связности (8) означает, что центр одной
из дырок находится внутри шара радиусом
( , ),
k
R i j
описанного во-
круг второй дырки, и наоборот. Таким образом, для каждой связан-
ной пары дырок имеются два охватывающих друг друга шара радиу-
сом
( , )
k
R i j
. Назовем это радиус радиусом связности пары дырок, и
для разных пар он разный.
Множество всех дырок различных размеров удобно отобразить
взаимно однозначно на точечное множество их центров. В этом то-
чечном представлении кластер из связанных дырок является некоторой
цепочкой охватывающих шаров различных радиусов. Тогда вопрос о
критической концентрации дырок, при которой возникает бесконечный
кластер, сводится к вопросу о том, при какой концентрации точек, раз-
бросанных в некотором объеме, появляется две или несколько цепочек,
проходящих через весь объем. В теории перколяции такая задача
называется задачей об охватывающих шарах на случайных узлах.
Содержание задачи следующее [14]. В пространстве случайным
образом размещены точки со средней концентрацией в единице объ-
ема, равной
N
. Около каждой точки описываются шары одинакового
радиуса
R
. Шары могут перекрываться. Два шара считаются связан-
ными, если центр одного из них находится внутри другого, т. е. если
центры шаров находятся на расстоянии, не превосходящем их радиу-
са. Такие шары называются охватывающими. Если шар
А
связан с
шаром
В
, а
В
связан с
С
, то
А
связан с
С
, т. е. удаленные друг от дру-
га шары могут быть связанны по цепочке охватывающих шаров. За-
дача состоит в том, чтобы найти такое значение концентраии центров
шаров, при которой возникает протекание по охватывающим шарам,
т. е. появляются пути, проходящие через всю систему и состоящие из
связанных шаров. Другими словами, при какой концентрации
N
по-
является бесконечный кластер из связанных шаров?
Эта задача теории перколяции хорошо изучена и имеет много
приложений. В частности, с ее помощью была решена задача о пере-
ходе к металлической проводимости в примесных полупроводниках,
когда концентрация примесей превышает некоторое критическое
значение (переход Мотта) [14].
Задача об образовании и накоплении дырок в эластической зоне в
«точечном представлении» отличается от классической задачи охва-
тывающих шаров тем, что эти шары имеют различные радиусы, рав-
ные радиусам связности
( , )
k
R i j
пар точек. Но это различие малосу-
щественно. Множество радиусов связности
( , )
k
R i j
ограничено свер-
ху, т. е. существует наибольшее значение
sup ( , ).
m
k
R
R i j
=
Тогда для любой пары точек выполнимо неравенство
( , )
.
k
m
R i j
R
≤
(10)