8 / 16
А.А. Валишин, И.В. Антонова
8
Инженерный журнал: наука и инновации
# 11·2016
Отсюда следует, что если при некоторой концентрации точек
N
существует бесконечный путь по охватывающим шарам переменного
радиуса
( , )
k
R i j
, то существует такой же путь и по охватывающим
шарам одинакового радиуса
.
m
R
Если нет пути по охватывающим
шарам радиуса
m
R
, то нет пути и по шарам радиусами
( , ).
k
R i j
По-
этому будем рассматривать задачу охватывающих шаров одинаково-
го радиуса
m
R
.
Отсутствие или наличие протекания в этой задаче определяется
безразмерным параметром
B
[13–15]:
3
4
.
3
m
B N R
= m
(11)
Параметр
В
называется координационным числом. Каждый кла-
стер, т. е. множество точек, связанных охватывающими шарами, ха-
рактеризуется своим координационным числом.
Наименьшее значение концентрации точек
,
k
N
при которой воз-
никает протекание по бесконечному кластеру, т. е. по цепочке охва-
тывающих шаров, протягивающейся через всю систему, определяет
критическое координационное число
3
4
.
3
k
k m
B N R
= m
(12)
В работах [13–15] показано, что
k
B
является так называемым по-
рогом инвариантности, не зависящим от размеров и формы охваты-
вающих поверхностей (сфера, эллипс или другие более сложные
формы).
Компьютерные расчеты с высокой точностью дают значение кри-
тического координационного числа [13–15]:
3
4
2,86.
3
k
k m
B N R
= m
=
(13)
Геометрически условие протекания (13) означает, что бесконеч-
ный кластер появляется тогда, когда в каждом шаре радиусом
m
R
с центром в произвольной точке окажется в среднем почти три точки.
Критическую концентрацию
k
N
можно найти, если будет известен
критический радиус перколяции
.
m
R
Тем самым будет найдена кри-
тическая концентрация дырок в эластической зоне.
Формула (13) определяет перколяционный критерий коллапса
эластической зоны.
Анализ экспериментальных результатов.
Рассмотрим экспе-
риментальные результаты. В работе [16] установлено, что в различ-