Теория устойчивости пластин, основанная на асимптотическом анализе уравнений теории устойчивости трехмерных упругих сред

18 / 26

Ю.И. Димитриенко
18
Для ортотропных сред равны нулю компоненты следующих тен-
зоров:
0; 
IJKLM V 0;  
KLMN H  0 0; 
IJKLM N  
Ф 0,    KLMNS (73)
поэтому из соотношений (56), (70) и (72) имеем
1 1
0; 0; 0; 0;
ˆ ˆ 0; 0; 0; 0; 0.
   
    
IJKLM IJKLM IJKLMNS IJKLMNS
IJKLMNS IJKLM IJKLM IJKL IJKL
K K W W
W K K V V
(74)
С учетом этих выражений определяющие соотношения (71) при-
нимают более простой вид:
 0 ˆ ;    
IJ IJKL KL IJKL KL T C B
 0 ˆ ;    
IJ IJKL KL IJKL KL M B D (75)
 2 2
3 .     
I I Q
Полученные соотношения формально похожи на определяющие
соотношения классических теорий пластин, но осредненные упругие
константы ˆ , ,
IJKL IJKL C B IJKL B и ˆ
IJKL D зависят от деформаций основ-
ного состояния пластины  
0 0 . SN
Осредненные кинематические соотношения теории пластин.
В систему осредненных определяющих соотношений (69) входят де-
формации срединной поверхности  
0 0 , KL кривизны 0
KL  и градиенты
деформаций  
0 0
, , KL N которые зависят от функций  0 ,
I u  0
3 u глобаль-
ных переменных I x :
       
0 0 0 0
, ,
1 ;
2
  
IJ I J J I u u  0 0
3, .   KL KL u (76)
Эти кинематические соотношения замыкают систему уравнений
асимптотической теории пластин (60), (69), находящихся в основном
состоянии.
В систему осредненных определяющих соотношений (71) варьи-
рованного состояния пластин входят деформации срединной поверх-
ности  0 , KL кривизны , KL градиенты деформаций  0
, , KL N а также
компоненты  0
3 M B вектора поворота, которые зависят от функций
 0 ,
I w  0
3 w глобальных переменных I x :