Теория устойчивости пластин, основанная на асимптотическом анализе уравнений теории устойчивости трехмерных упругих сред

Теория устойчивости пластин, основанная на асимптотическом анализе…

УДК 539.3

Теория устойчивости пластин, основанная

на асимптотическом анализе уравнений теории

устойчивости трехмерных упругих сред

МГТУ им. Н.Э. Баумана, Москва, 105005, Россия

Разработана теория упругой устойчивости тонких многослойных пластин, по-

строенная на общих уравнениях трехмерной теории устойчивости упругих сред

путем введения асимптотических разложений по малому геометрическому пара-

метру — отношению толщины пластины к ее длине — без введения каких-либо ги-

потез относительно характера распределения перемещений и напряжений по

толщине пластины. Сформулированы локальные задачи теории устойчивости, по-

лучены осредненные уравнения равновесия для пластины в основном и варьируемом

состояниях. Найдено решение локальных задач в явном аналитическом виде, с по-

мощью которого определены соотношения для всех шести компонент тензора

напряжений, включая поперечные нормальные напряжения и напряжения меж-

слойного сдвига в основном и варьируемом состояниях пластины. Показано, что

осредненные уравнения устойчивости теории пластин отличаются от классиче-

ских уравнений теории пластин Кирхгофа — Лява и Тимошенко как выражением

поперечной силы, вызванной поворотом пластины при действии напряжений ос-

новного состояния, так и определяющими соотношениями пластины, содержа-

щими члены, обусловленные ее основным напряженным состоянием. Показано,

что для ортотропных пластин определяющие соотношения упрощаются и фор-

мально становятся подобными классическим соотношениям теории тонких пла-

стин, но мембранные и изгибные жесткости пластины зависят от напряжений

основного состояния. Приведен пример расчета тонкой ортотропной пластины

при одноосном сжатии. Получено выражение для критической силы потери

устойчивости, отличающееся от классической формулы Эйлера выражением для

изгибной жесткости, которая зависит от параметров основного состояния пла-

стины. Различие значений критической силы наиболее существенно для пластины

с анизотропными слоями.

Ключевые слова:

теория устойчивости пластин, трехмерная теория устойчиво-

сти, тонкие многослойные пластины, ортотропные пластины, асимптотическое

разложение.

Введение.

Расчет тонкостенных конструкций на устойчивость

является, как правило, одним из основных расчетных случаев при

проектировании различных изделий авиационной, ракетной, судо-

строительной и строительной отраслей промышленности [1–3]. Не-

смотря на то что классические теории устойчивости конструкций,

основанные на теориях пластин и оболочек Кирхгофа — Лява и Ти-

мошенко, применяются достаточно давно, известно, что значения

критических нагрузок, получаемые в соответствии с этими теориями,

часто оказываются существенно завышенными. Особенно для кон-

струкций из композиционных материалов, для которых существен-