21 / 26
Теория устойчивости пластин, основанная на асимптотическом анализе…
21
Однако отличными от нуля являются компоненты тензора
IJMNKL
G
и, следовательно, изгибная жесткость пластины в варьируе-
мом состоянии
0 0
0 0
1111 1111 111111 11
111122 22
1111
ˆ
D D G
G
D
0
0
2
1
1
0
1133 3333 1111
1111
1133 3333 2211
1122
.
C C C
C C C
T
(87)
После подстановки выражений (86) в определяющие соотноше-
ния (85) получаем, что
IJ
T
и
1
Q
равны нулю, а момент
11
M
зависит
только от
1
.
X
Тогда система уравнений теории устойчивости (68)
содержит только два ненулевых уравнения:
11 1 1
0;
M Q
0 0
1 1
3,11
0
Q T w
(88)
Исключив из этих двух уравнений перерезывающую силу
1
Q
, по-
лучим
0 0
11 11
3,11
0.
M T w
(89)
Подставляя вместо момента
11
M
его выражение (85), с учетом
(84) получаем итоговую форму уравнения теории устойчивости пла-
стины:
0
0 2
3,1111
3,11
0,
w k w
(90)
где
0
2
11
1111
.
ˆ
Т k
D
(91)
Уравнение (90) с граничными условиями шарнирного закрепления
0
1
0
1
3
11
0
0
0;
0
X U w M
(0)
1
3
11
0
0
X l w M
(92)
имеет минимальное собственное значение
.
k l
Ему соответствует
критическое значение сжимающей нагрузки
0
,
T
при котором проис-
ходит потеря устойчивости пластины:
2
0
1111
кр
2
ˆ
.
D T
l
(93)
Формула (93) отличается от классической формулы Эйлера [19]
для критического усилия значением изгибной жесткости
1111
ˆ .
D