19 / 26
Теория устойчивости пластин, основанная на асимптотическом анализе…
19
0
0
0
0
,
,
3,
0
0
0
0
0
0
13
2 11 1, 21
23
2 12 1, 22
1
;
;
2
1
1
;
.
2
2
IJ
I J
J I
KL
KL
w w
w
B
w w B
w w
(77)
Эти кинематические соотношения замыкают систему уравнений
асимптотической теории пластин (65), (71), находящихся в варьируе-
мом состоянии.
Пример расчета устойчивости пластины при одноосном сжа-
тии.
Рассмотрим классическую задачу об устойчивости пластины
при действии на нее сжимающей продольной нагрузки
0
0
11
0.
T T
Ось
1
OX
ориентирована в направлении продольной оси пластины.
Будем считать, что пластина является: 1) ортотропной, главные оси
ортотропии каждого слоя совпадают с осями
i
OX
декартовой систе-
мы координат и 2) симметричной относительно срединной поверхно-
сти, т. е. выполняются соотношения
.
ijkl
ijkl
C C
(78)
В пластине, находящейся в основном состоянии, возникает одно-
осное растяжение (сжатие), которому соответствует следующее ре-
шение системы уравнений (60), (69), (73):
0
0
0
0
0 1
1111 11
10
1
3
2
3,
0
0
0
0
0
0
11
1111
1122
11
11
11 22
11
П
;
0;
0;
0;
;
;
,
KL
KL
u
T X u u
u
u
T
(79)
остальные усилия, а также все моменты и перерезывающие силы
равны нулю, т. е.
0
0,
T
0
0,
M
0
0.
Q
Здесь
П
IJKL
— компо-
ненты тензора податливостей, обратного к
;
IJKL
C
10
u
— постоянная
интегрирования, определяемая из граничного условия на торце пла-
стины.
Решение для варьированного (неустойчивого) состояния пласти-
ны будем искать подобно решению задачи изгиба пластины [13],
в котором отличны от нуля две основные функции: прогиб
0
3
w
и
угол поворота
1
1
,
w
причем эти функции зависят только от продоль-
ной координаты
1
X
:
0
1
0
0
1
1
3
1
1
2
2
;
//
0;
0;
0
w w X w w w
(80)
Подставляя это решение в кинематические соотношения (12),
находим компоненты вектора поворота: