Теория устойчивости пластин, основанная на асимптотическом анализе уравнений теории устойчивости трехмерных упругих сред

13 / 26

Теория устойчивости пластин, основанная на асимптотическом анализе…
13
где
     
0 0
/ 3 / 3
0,5
.


   

     
KLMN KL KL MN MN H S C S C d (50)
Выразим деформации  1
3  k из второй группы соотношений (31),
тогда с учетом формул (43) и (36) получим
       
1 1 1 1 1 1 1
3 3 3 3 3 3 333 33 3 .   
       
k i i KL KL k I I k k C C C C (51)
Деформации  1 ,
KL  согласно соотношению (36), имеют вид, анало-
гичный соотношениям (40) для основного состояния:
   
1 0
, Ф ,
KL KLMNS KL MN S       0
3, .   KL KL w (52)
Если подставить теперь в формулу (51) выражения (52), (46) и
(49), то получим следующее представление для деформаций:
       
             
           
 
1 0 0 1 1 1
3 3 3 3 3 3 3 3 , 3
0 0 0 0 1
3 3 2 1 2 11 12 13 12
0 0 0 0 0 1 21 11
1 333 22 23 ,1
0 12 2
, 2
Ф
k i i KL KL k i i KL KLMNS k I ISMN MN S k
k I I I I KL KL KL
I k KLMN KLMN KL KL KL
KLMN KLMN KL
C C C C C C
C C C B C
C B C H H
H H
  


  


 
       
 
 
 
      
 
 
  
      
     
                  
0 0 0 0 0 0 2
3, 22 22 3,11 11 .
MN MN MN w C w C
 

  

(53)
Подставляя выражение (51) в третью группу соотношений (30),
найдем оставшиеся напряжения первого приближения в варьируемом
состоянии:
           
1 0 1 1 1 1 1
3 3 3 3 333 33 .  
      
IJ IJKL KL IJk k I I k C C C C (54)
Подставляя формулы (52), (46) и (49) в выражения (54), получаем
окончательно
           
       
1 0 0 0 0 0 0
, 3
0 0 0 0 0 0
, 3, ,
       
    

IJ IJKL KL IJMNS MN S IJKLM M KL
IJKLMNS KL S MN IJMNKL KL MN
C N V B
W G w (55)
где введены следующие тензоры:
       
0 0 1
1 3 3 3 11 2 12 1 ; 
 
 
   
 
  IJKL IJk k M KL M KL M V C C C C (56)