8 / 21
Ю.И. Димитриенко, Е.А. Губарева, Д.Ю. Кольжанова
8
0
(0)
;
ij
j
i
e
n P
t
0
1
;
i
X
(0)
;
k
i
e
u
u
0
2
.
i
X
(30)
Осредненный градиент деформации
k
l
F
в силу периодично-
сти функций
(1)
k
u
совпадает со средним градиентом деформаций
.
k
l
F
В задаче (27)–(30) предполагается, что перемещение
(1)
k
u
, являюще-
еся решением задачи
0
L
, может быть представлено как функция ло-
кальных координат и «входных данных задачи» — среднего градиен-
та деформаций, поэтому, согласно (18), в виде такой же зависимости
может быть представлен и градиент
(0)
( , )
k
i
l
F X
нулевого прибли-
жения, т. е.
(1)
(1)
( , );
k
k
m
s
u u F
(0)
(0)
( , ).
k
k
m
l
l
s
F F F
(31)
Подставляя (31) в (29) и (28), получаем осредненные определяющие
соотношения композита, записанные в неявной форме:
(0)
0
( );
(n)
ij
ij
k
l
P
F
F
(32)
0
0
(1)
3 3
( )
(
( ,
)
.
(n)
(n)
ij
k
ij
k
k
k m
l
l
l
l
F
F u F
F
F
(33)
Решение локальной задачи нулевого приближения.
Эта задача
(16)–(21) является нелинейной, но одномерной, в ней все функции
зависят только от координаты
, поэтому можно найти формальное
решение этой задачи.
Интегрируя уравнения равновесия (16), получаем, что напряже-
ния
3 (0)
j
P
постоянны в ЯП:
3 (0)
const,
j
j
P C
(34)
где
j
C
— постоянные интегрирования.
Из уравнения (18) следует, что среди девяти компонент градиента
деформаций
(0)
k
l
F
от координаты
зависят только три компоненты:
(0)
(1)
3
3
3
,
k
k
k
F F u
(35)
а остальные шесть совпадают с компонентами среднего градиента
(0)
,
1, 2.
k
k
L
L
F F L
(36)
Тогда, подставляя (35), (36) в (34), получаем систему трех нелиней-
ных алгебраических уравнений, которую можно рассматривать отно-
сительно трех компонент
(0)
3
:
k
F