13 / 21
Моделирование слоистых композитов с конечными деформациями…
13
В системе (44) собственные значения
и матрицы Якоби
,
i
Q
i
Q
собственных векторов
,
i
i
i
i
Q
Q
p
e p e
являются функция-
ми компонент
ij
F
градиента деформации в декартовом базисе
i
e
и
могут быть найдены по формулам
2
det(
) 0;
i
k
l
j ik
lj
F F
2
(
)
0;
i
k
i
l
j ik
lj
F F
Q
(45)
2
(
)
0.
i
k lj
ik
m
l
j
km
F F
Q
Для численного расчета собственных значений
и матриц Яко-
би
,
i
Q
i
Q
был использован метод вращений [21]. В качестве до-
полнительных уравнений к (45) используются условия нормировки:
1,
i
j
ij
Q Q
1.
i
j
ij
Q Q
Пример численного расчета.
Для модели материала A
I
(n = I)
согласно предложенному методу были проведены численные расче-
ты. Была разработана программа расчета на языке С++, позволяющая
реализовать решение цепочки систем нелинейных алгебраических
уравнений методом многомерной оптимизации.
Графики функций (32) определяющих соотношений слоистого
композита, построенные с помощью описанного выше алгоритма,
показаны на рис. 1–3. Был рассмотрен композит с ЯП из трех слоев,
характеризующихся двумя различными наборами упругих констант:
слои 1, 3:
1
2
100 МПа,
50 МПа;
l
l
слой 2:
1
2
20 МПа,
10 МПа.
l
l
Были выбраны следующие соотношения слоев (относительные
толщины):
1
0,3;
h
2
1
1 2 .
h
h
На рис. 1 представлены графики функций (32) для компоненты
осредненного тензора напряжений Пиолы — Кирхгофа
33
P
в зависи-
мости от компоненты
33
F
среднего градиента деформаций, которая
изменялась в диапазоне 1,0…1,2. Начальные значения для остальных
компонент осредненного градиента:
11
22
1,
F F
0,
.
ij
F
i j