5 / 21
Моделирование слоистых композитов с конечными деформациями…
5
В силу периодичности структуры композита его плотность
0
и тензор определяющих соотношений
0
(n)
ij
F
(6) можно рассматривать
как периодические функции локальной координаты:
0
( , ).
(n)
ij
k
l
F
F
Решение задачи (1)–(5) относительно вектора перемещений бу-
дем искать в виде квазипериодической функции координат, т. е. пе-
риодической функции локальной лагранжевой координаты, завися-
щей от глобальных лагранжевых координат:
( , ),
k
k i
u u X
( , )
( ,
),
k i
k i
u X u X a
(8)
где
a
— произвольное целое число.
Дифференцирование квазипериодических функций
( , )
k i
f X
осу-
ществляем по формальным правилам дифференцирования сложной
функции и с учетом (7) имеем
0
,
|3 3
1
,
k
k
k
i
i
i
u u
u
(9)
где
,
|3
( , );
( , ).
k
k l
k
k l
i
i
u
u X
u
u X
X
Будем искать решение задачи (1)–(5) для композита периодиче-
ской структуры в виде асимптотических разложений по параметру
:
2
(0)
(1)
( , )
( )
( , )
...
k i
k
i
k
i
u X u X u X
(10)
Представление (10) означает, что в данной задаче допускаемые
перемещения композита с периодической структурой могут быть ко-
нечными только на «глобальных» расстояниях порядка
L
, а на рас-
стояниях порядка
l
, т. е. в рамках каждой ЯП, допускаются лишь ма-
лые перемещения порядка
( ),
O
однако деформации в ЯП могут
быть конечными.
Подставляя (10) в (3) с учетом (9), находим асимптотическое раз-
ложение для градиента деформации
(0)
(1)
2
( , )
( , )
...;
k
k
i
k
i
l
l
l
F F X
F X
(11)
(0)
(0)
(1)
(1)
(1)
(2)
,
3
,
3
3
3
( , )
;
.
k
i
k
k
k
k
k
k
l
l
l
l
l
l
l
F X
u
u
F u
u
(12)
Подставляя разложение (11) в (2) и используя формулу Тейлора,
находим асимптотические разложения определяющих соотношений и
тензора Пиолы — Кирхгофа: