2 / 21
Ю.И. Димитриенко, Е.А. Губарева, Д.Ю. Кольжанова
2
В настоящей работе предложен метод расчета диаграмм дефор-
мирования слоистых композитов с конечными деформациями на ос-
нове асимптотической теории гомогенизации (осреднения) нелиней-
но-упругих композитов с периодической структурой, обобщенной
для случая конечных деформаций. Метод асимптотического осред-
нения достаточно хорошо развит, численное моделирование микро-
механики композитов успешно реализовано, но главным образом для
линейных задач [10–17]. Для построения метода асимптотического
осреднения в случае конечных деформаций в настоящей работе ис-
пользованы универсальные представления моделей нелинейно-
упругих сред с конечными деформациями, предложенные Ю.И. Ди-
митриенко [18–20]. Получены аналитические решения локальных
задач для слоистых композитов с конечными деформациями. Для чис-
ленной реализации этих решений применен метод вложенной оптими-
зации. Представлены примеры численного расчета слоистых компози-
тов с конечными деформациями.
Исходная задача нелинейной упругости для композитов с пе-
риодической структурой и конечными деформациями.
Обозначим
эйлеровы (декартовы) координаты каждой материальной точки в от-
счетной и актуальной конфигурациях как
k
x
и
0
,
k
x
а лагранжевы ко-
ординаты как
i
X
и будем полагать лагранжевы координаты совпа-
дающими с декартовыми:
0
.
i
i
X x
Рассмотрим неоднородную
упругую твердую среду
V
с конечными деформациями, которая в от-
счетной конфигурации
0
K
обладает периодической структурой (ком-
позит) и для которой можно выделить повторяющийся элемент —
ячейку периодичности (ЯП)
0
,
V
состоящую из
N
компонентов:
0
,
1, ..., ,
V
N
где
— локальная лагранжева координата в от-
счетной конфигурации
0
.
K
Рассмотрим для такой неоднородной среды задачу нелинейной тео-
рии упругости в лагранжевом описании в общей формулировке, пред-
ставленной в [18–20], с использованием универсальных моделей — так
называемых моделей A
n
, предложенных Ю.И. Димитриенко, для сред
с конечными деформациями (все компоненты векторов и тензоров
отнесены к неподвижному ортонормированному базису
k
e
— от-
счетной конфигурации
0
K
):
0
0
0,
ij
j
i
P f
0
;
i
X V
(1)