Ю.П. Корнюшин, Н.Д. Егупов, П.Ю. Корнюшин
4
Особенность
дифференциальных уравнений (4) заключается в
том, что вектор начальных условий
1 0
( )
k
t
Y
не полностью определен.
Измеренный выходной сигнал объекта
вых
( )
x t
связан с вектором
1
( )
k
t
Y
соотношением
вых
1
( )
( )
k
x t
t
CY
,
где
0 0
C C
вектор размерности (
) 1
n l
.
Возникает проблема в уточнении на каждом шаге начальных усло-
вий
1 0
( )
k
t
Y
, поскольку они содержат вектор неизвестных параметров
P
.
Параметризация уравнения динамики (4), переход к спек-
тральной форме ее описания.
Этап параметризации осуществляется с
использованием матричных операторов. Выполняется представление
сигналов
1
( )
k
t
Y
,
( )
k
t
Y
,
вых
( )
x t
в виде конечномерного разложения по
некоторому ортонормированному базису
0
Ф ( ) : 1, ,
,
i
t i
t t T
:
1
1
ˆ
( )
( )
k
n l
k
t
t
Y
Y FT C
,
ˆ
( )
( )
k
n l
k
t
t
Y
Y FT C
,
1
вых
ˆ
( )
( )
x
x t
t
FT C
, (6)
где
( ),
или 1,
p
t p n l
FT
клеточные матрицы вида
1
( ) diag ( )
( )
p
p
t
t
t
FT
FT FT
,
1
2
( )
( ) ( )
( )
i
N
t
t
t
t
FT
;
матрицы
1
ˆ
k
Y
C
,
ˆ
k
Y
C
,
ˆ
x
C
спектральные характеристики соответ-
ствующих сигналов [7, 8].
Переход к спектральной форме описания уравнения динамики (4)
осуществляется в два этапа. Сначала выполняется переход от диффе-
ренциального уравнения (4) к интегральному уравнению Фредгольма
второго рода, путем интегрирования уравнения (4):
0
0
0
1
1
0
( )
( , )
( )
( , ) ( )
( , )
( ),
T
T
T
k
Y
k
Y
k
F
t
t
t
t
t
d
t
d
t d t
Y K Y
K Y
K
Y
(7)
где ядра интегрального уравнения имеют вид
( , ) 1( ) ( )
k
Y
t
t
K
A
,
( , ) 1( ) ( ( ), ( ), )
F
k
t
t
K
F Y U
.
Затем выполняется представление ядер в виде конечномерного
разложения по выбранному базису:
ˆ
( , )
( )
Y
Y
n l
n l
t
t
K FT A F
,
ˆ
( , )
( )
( )
F
F
n l
n l
t
t
K FT A F
, (8)
где
1
( ) diag ( )
( ) ;
n l
n l
t
t
t
F
F F
т
1
2
( )
( )
( )
( )
i
N
t
t
t
t
F
.
