А.А. Панкратов
2
2
0
1
2
( , , , )
( )
( , , )
( , , ) ...,
1,
F p q t
F I
F p q t
F p q t
μ = + μ
+ μ
+ μ
(2)
где
т
1 2
I ( ,
, ..., ) ;
l
p p p
=
т
1
2
J ( ,
, ...,
) ;
l
l
N
p p
p
+
+
=
т
т т
1 2
p ( ,
, ...,
) (I , J );
N
p p p
=
=
т
1 2
( , , ..., ) ,
l
q q q
ϕ=
т
1
2
( ,
, ...,
) ;
l
l
N
q q
q
+
+
ψ =
т
т
т
1 2
q ( , , ...,
) ( ,
).
N
q q q
=
= ϕ ψ
Пусть
F
— аналитическая функция позиционных переменных
p,
угловых
q,
канонических переменных и времени
t
в области
1
D T T ,
N
× ×
где D — связная ограниченная область R
N
1 2
{ ,
, ...,
}
N
p р p
N
-мерной плоскости,
1 2
T { , , ...,
mod 2 }
N
N
q q q
π
—
N
-
мерный тор,
!
T {
t
mod
0
T }
. Тогда функции
(p, q, )
i
F t
можно разло-
жить в сходящиеся ряды Фурье по кратным угловых переменных
q
и
t
Ω
(
0
2 / T
Ω = π
— основная частота;
0
T
— период):
1
1
1
(k,
)
(1)
(2)
1
k
( ,
)
(1)
(2)
1
(p,q, )
(I, J) cos(k k
)
(I, J) sin(k k
),
N
N
N
k
i
N
i
k
k k
i
N
F t
F
k t
F
k t
+
+
+
+
+
∗
+
=
ϕ + ψ + Ω +
+
ϕ + ψ + Ω
∑
(1)
1 2
k ( , , ..., ),
l
k k k
=
(2)
1
2
k ( ,
, ...,
),
l
l
N
k k
k
+ +
=
(1)
(2)
k (k , k ),
=
Z,
1, 2, ...,
1,
i
k
i
N
∈ =
+
(1)
(2)
1
k k k
.
N
i
i
k
=
= + =
∑
Уравнения (1)–(3), представляющие собой пример систем диффе-
ренциальных уравнений, близких к интегрируемым, широко распро-
странены в небесной механике [2]. Правые части уравнений (1)–(3) —
периодические функции времени с периодом
0
T
. Одна из важных про-
блем, возникающих при исследовании такой системы, — определить
существуют ли периодические решения уравнений (1)–(3) с периодом
T кратным
0
T
хотя бы для достаточно малых значений параметра
μ
и
какова их устойчивость.
Пуанкаре получил достаточные условия существования периоди-
ческих решений уравнений (1)–(3) и необходимые условия устойчи-
вости этих решений в форме, удобной для приложения [3]. Однако во
многих практических задачах (например, в задачах о поступательном
и вращательном движениях спутников) классические условия Пуан-
каре нарушаются. Вопрос о существовании периодических решений
в подобных случаях (их в дальнейшем будем называть особыми или
вырожденными) остается, вообще говоря, открытым. В работах [3, 4],
(3)
