9
Проблема устойчивости в теории и практике формирования моделей...
но зависят от выбора некоторых параметров, результирующие сокра-
щенные модели обладают только локально хорошими свойствами при-
ближения. Еще раз необходимо отметить, что и специальные свойства
системы (стабильность или пассивность) не всегда сохраняются в со-
кращенной модели и обычно необходима постобработка, чтобы понять
эти свойства. Перечислим методы, которые критичны к проблеме со-
хранения устойчивости.
1. Метод подпространств Крылова для редукции моделей, который
фокусируется на соответствии коэффициентов рядов Тейлора или Ма-
кларена передаточной матрицы, однако в общем не гарантирует устой-
чивость редуцируемой модели [7].
2. Метод взвешенной сбалансированной редукции, который состо-
ит в том, что для полосы частоты [ω
1
, ω
2
] не рассчитываются веса,
а просто используется представление граммиана в частотной области.
Метод весьма эффективен на практике, но устойчивость не гарантиру-
ется и не существует границ ошибки.
3. Метод балансировки и усечения с помощью двустороннего взве-
шивания, предложенный Енном, фокусируется на аппроксимации ис-
ходной модели в специально указанном диапазоне значений частоты,
что тоже может привести к потере устойчивости.
Стремление повысить устойчивость методов редукции привело
к идеям использования вместо критерия Ляпунова (5) неравенство вида
0
т
AP PA
.
Предложение автора настоящей статьи состоит в том, что этот под-
ход может быть использован для редукции неуправляемых систем, у ко-
торых матрица
B
равна нулю, чему будут посвящены следующие рабо-
ты автора.
Редукция неустойчивых систем.
Можно выделить две технологии,
используемые для редукции неустойчивых систем. Первая технология
состоит в редукции только устойчивой проекции
G
и включении не-
устойчивой проекции без модификаций в результирующую редуциро-
ванную модель с помощью простой процедуры:
1) декомпозиция проекции
G
в виде суммы
G
=
G
1
+
G
2
так, что
G
1
имеет только устойчивые полюсы,
G
2
– только неустойчивые;
2) определение
G
1
r
– редуцированной аппроксимации устойчивой
части
G
1
;
3) сборка редуцированной модели так, что
G
r
=
G
1
r
+
G
2
.
Вторая технология основана на вычислении устойчивой рациональ-
ной факторизации RCF для проекции
G
(например, в форме
G
=
M
–1
N
,
где
M
,
N
– устойчивые и правильно рациональные матричные переда-
точные функции) и редуцировании устойчивых систем [
NM
]. Из резуль-
тирующей редуцированной модели [
N
r
M
r
] получим
G
r
=
M
r
–1
N
r
. Самым
трудным процессом является факторизация RCF [8].
