2
И.К. Романова
Частными случаями являются представление линейной системы
в пространстве состояний
( )
( )
( );
( )
( )
( )
x t
Ax t Bu t
y t Cx t Du t
(2)
(причем в некоторых методах матрица
D
принимается нулевой), а так-
же неуправляемая система общего вида, которую можно привести
к виду задачи для системы управления добавлением входа и выхода
( ) ;
.
x f x u
y x
(3)
Определение устойчивости.
Для систем вида (2) справедлива
теорема: система внутренне устойчива, если для собственных значений
матрицы
A
выполняется условие
Re{ ( )} 0.
i
A
(4)
Критерий Ляпунова позволяет утверждать следующее: матрица
A
устойчива, т. е. выполняется условие (4), если для любой положитель-
но определенной (симметричной) матрицы
Q
существует такая
положительно определенная (симметричная) матрица
P
, что
,
т
A P PA Q
(5)
причем решение матрицы
P
для матрицы
Q
единственно и имеет вид
0
.
т
e e
A t
At
P Q dt
Физический смысл этого критерия соотносится со свойством энер-
гии: если общая энергия динамической системы непрерывно рассеива-
ется, тогда система называется устойчивой и стремится к точке равно-
весия. Если величину ( ( ))
( ) ( )
т
V x t
x t Px t
можно рассмотреть как
общую энергию, связанную с реализацией (2), то в устойчивой системе
энергия должна распадаться со временем и определяться по дифферен-
циальному уравнению
( ( ))
( )(
) ( )
( ) ( ).
т
т
т
d V x t
x t PA A P x t
x t Qx t
dt
(6)
Для систем управления полезно определение: система внутренне
устойчива, если все сигналы, содержащие как измеряемые, так и неиз-
меряемые составляющие во всех компонентах, включая скрытые моды,
остаются ограниченными при условии, что все входные сигналы (в лю-
бом возможном положении) и начальные условия ограниченны.
Метод сингулярных возмущений.
Метод успешно применяется
для моделей, имеющих быстрые и медленные компоненты. Сначала
