7
Проблема устойчивости в теории и практике формирования моделей...
отрицательные действительные части. Как правило, эти значения до-
минируют над долгосрочной динамикой решения (компоненты реше-
ния, соответствующие большим отрицательным действительным ча-
стям, быстро уменьшаются и в основном играют менее важную роль).
В работе [4] предложен метод для сокращения линейных систем путем
построения системы более низкого порядка, которая имеет те же самые
доминирующие собственные векторы и собственные значения, как
первоначальная система. Идея метода заключается в том, что необхо-
димо пренебречь собственными значениями первоначальной системы,
которые являются самыми дальними от начала, и сохранить только
доминирующие собственные значения и, следовательно, доминирую-
щие постоянные времени исходной системы в сокращенной модели.
Моделирование осуществляется применительно к линеаризованной
модели (2). Следует отметить, что система пониженного порядка также
будет моделью в пространстве состояний. Она должна иметь тот же
входной вектор, как и исходная система и вектор состояний, элементы
которого должны иметь физический смысл. Поэтому они должны ап-
проксимировать самые важные исходные переменные состояния, на-
зываемые существенными состояниями. В работе [4] показано, что
метод обладает устойчивостью для устойчивых моделей. Особенно
важна возможность и обязательность включения неустойчивых состо-
яний, которые признаются доминирующими, т. е. метод имеет доста-
точно широкое применение.
Для рассматриваемого примера обе компоненты неустойчивы, по-
этому модель сохраняется в полном виде и разделение невозможно.
Методы, основанные на декомпозиции по сингулярным значе-
ниям (SVD)
. Мур впервые представил балансировку (сбалансирован-
ную реализацию) в целях использования ее в качестве инструмента для
редукции моделей. Главная идея состоит в соответствии сингулярных
значений граммиана управляемости размеру энергии, которая должна
быть передана в систему, чтобы изменять соответствующие состояния.
Наибольшее влияние на поведение входа-выхода оказывают состояния,
характеризующие самые большие сингулярные значения [1]. Отсечение
состояний, соответствующих наименьшим сингулярным значениям,
приводят к модели, свойства входа-выхода которой хорошо прибли-
жают поведение первоначальной модели.
Ответ на вопрос, сохраняет ли редуцированная модель свойства
устойчивости, дает теорема Пернебо – Сильвермана [5].
Методы редукции, основанные на применении методов опти-
мизации.
В работе [6] алгоритм роя частицы и алгоритм генетической
оптимизации используются для нахождения редуцированных моделей
с единственным входом и единственным выходом (SISO) для крупно-
масштабных линейных систем. Для заданных критериев оптимизиру-
