3
Проблема устойчивости в теории и практике формирования моделей...
пренебрегают быстрыми компонентами. Затем аппроксимация улучша-
ется повторным представлением их эффектов как коррекции «гранич-
ных условий», рассчитанные в разных временных масштабах.
Оригинальная формулировка метода сингулярных возмущений при-
меняется для модели в виде [3]
( , , , , )
x f x z u t
; (7)
( , , , , )
z g x z u t
, (8)
где μ > 0 – скаляр;
x
,
z
и
u
– вектора размерностью
n
,
m
и
r
. Для μ = 0
порядок (
n
+
m
) уравнений (7) и (8) сокращается до
n
, а выражение (8)
становится
0 ( , , , , 0).
g x z u t
(9)
Для (9) корни имеют вид
( , , ).
z
x u t
(10)
После подстановки (10) в (7) получим редуцированную модель
, ( , , ), , , 0 ( , , ).
x f x x u t u t
f x u t
(11)
Существует специальный случай, когда функция
g
линейна в век-
торе
z
, тогда модель (11) единственна. Для линейной системы принято
записывать рассматриваемую систему в виде
11
12
1
( , )
( , )
;
x A t
x A t
z B u
(12)
21
22
2
( , )
( , )
.
z A t
x A t
z B u
(13)
Тогда корень уравнения (13) будет равен
1
1
22 21
22 2
z A A x A B u
(14)
и порождает редуцированную модель
1
1
11
12 22 21
1
12 22 2
(
) (
) .
x A A A A x B A A B u
(15)
Оценка устойчивости этого метода невозможна без рассмотрения
проблемы начальных условий: когда редуцированное решение ,
x z
аппроксимирует исходное решение ,
x z
и в каком смысле? Для полу-
чения ошибки с учетом выражения (14) запишем
1
22 21
z z z A A x
. (16)
Введем новую переменную, которая будет учитывать разность
x
и
:
x
1
22 21
1
z A A x M x
(17)
