6
И.К. Романова
Расчеты также были проведены для неустойчивой системы. Физи-
ческий смысл неустойчивости – статическая неустойчивость летатель-
ного аппарата. В рассматриваемом примере этому соответствует знак
динамического коэффициента для
a
12
< 0. Результат моделирования
быстрой компоненты приведен на рис. 1,
в
.
Запишем условие применимости метода сингулярных возмущений,
для чего рассмотрим матрицу A
22
, входящую в (22):
42
22
12
11
1
,
a
A
a a
(25)
где
42
P Y
a
mV
;
11
;
z
z
z
M a
I
12
.
z
z
M a
I
Условие устойчивости для (22) имеет вид
42 11 12
0
a a a
(26)
и совпадает с условием устойчивости летательных аппаратов.
Определим коэффициент демпфирования, при котором неустойчи-
вая система a
12
< 0 с учетом знака выражения для коэффициента будет
обладать устойчивостью по критерию (26)
12
11
42
abs
a
a
a
. (27)
Для рассмотренного примера a
11
>5,17, при этом собственные зна-
чения матрицы A
22
равны [–0,071669, –6,7253], т. е. система устойчива
по быстрой компоненте. В этом случае общая матрица
A
имеет собствен-
ные значения [–6,7252, –0,17956,(0,047198 + 0,12132i), (0,047198 –
0,12132i)], т. е. система неустойчива (расчет производных по скорости
показал, что они сильно увеличиваются). Несмотря на то, что решение
по быстрой компоненте, промоделированное отдельно, устойчиво, этот
результат с учетом потери устойчивости по остальным компонентам не
реалистичен. Таким образом, применение метода для рассматриваемых
моделей движения ограничено устойчивыми системами.
Модальный анализ.
Методы редукции моделей, основанные на
модальном анализе (МА), идентифицируют и сохраняют некоторые
представляющие интерес моды. Метод МА, вероятно, один из самых
старых методов редукции моделей. Основная идея этого метода состо-
ит в проецировании динамики линейной системы на
A
-инвариантное
подпространство, соответствующее доминирующим модам системы
(полюса
G
(
s
), собственные значения
A
). Очевидно, но не всегда опти-
мально, выбирать доминирующие моды так, чтобы определить те соб-
ственные значения, которые имеют неотрицательные или маленькие
