4
И.К. Романова
и выберем такое число
M
1
, что подстановка (16) в (12) и (13) выделяет
подсистему по переменной η:
1
11 12 22 21
2
12
(
)
;
x A A A A M x A
(18)
22
3
(
) .
A M
(19)
Существует такое * 0
, что значения
( ),
1, 2, 3,
i
i
M M i
ограничены для всех
[0, *]
. Для
0
собственные значения для
независимой подсистемы (19) по переменной η стремятся к бесконеч-
ности как собственные значения
22
(1/ )
A
. Поэтому (19) – это «быстрая»
часть выражений (12) и (13), которая может быть записана как
22
3
( ) (
) ( )
d
A M
d
, (20)
где τ – масштабированное время при
0
,
0
,
0
0
для
t t
t t
.
(21)
Система (19) непрерывно зависит от величины μ и при
0
она
сводится к виду
22
( )
( )
d
A
d
, (22)
причем при
0
начальное условие для (22) определяется как
0
0
(0) ( ) ( ).
z t
z t
(23)
Решение ( )
для быстрой подсистемы (20) является входом для
медленной подсистемы (18).
Сформулируем условия устойчивости метода сингулярных возму-
щений. Если
1) все матрицы ( , )
ij
A t
в (12) и (13) и их производные по
t
и по μ
ограничены и непрерывны для всех
0
t t
,
[0, *]
;
2) действительные части всех собственных значений
22
( , 0)
A
меньше, чем фиксированное отрицательное число для всех
0
t
;
3) система уравнений (18), (19) равномерно асимптотически
устойчива,
то существует такое * 0
, что система (12), (13) равномерно асим-
птотически устойчива для всех
[0, *]
.
Особый интерес представляет возможность применения метода для
неустойчивых систем, причем условием применимости является устой-
чивость решения уравнения (22).
Применим формулы (7) – (22) к модели движения летательного
аппарата [1]. Для практического моделирования представим их в нор-
мализованном виде
