О новом подходе в методе функций Грина при решении краевых задач Дирихле и Неймана
9
Теперь рассмотрим нахождение функции
*
, ,
G x y x
как реше-
ние задачи
2 *
2 *
2
2
0
G G
x
y
,
x
,
0
y
;
(31)
*
0
, ,
y
G x y x
x x
,
x
;
(32)
*
, ,
G x y x
,
0
y
,
x
.
(33)
В пространстве экспоненциального преобразования Фурье
*
*
, ,
1 2 exp
, ,
G y x
i x G x y x dx
решение преобразованного
уравнения (31) с учетом граничных условий (32), (33) имеет вид
*
, ,
1 2 exp
G y x
i x y
. Искомый оригинал находим по
формуле обращения:
*
2 2
, ,
1 2 exp
.
y
G x y x
i x i x y d
x x y
(34)
Равенство (21), записанное для данной области в виде
*
, ,
G x y x
0
, , ,
,
y
G x y x y
y
проверяется непосредственно выражениями
(30), (34). Искомое решение
,
T x y
задачи (1), (24) имеет вид (24):
*
,
, ,
T x y
x G x y x dx
и дает интеграл Пуассона (26).
Рассмотрим далее задачу Дирихле для круга:
2
2
2
2
2
,
,
,
1
1
0
T r
T r
T r
r
r
r
r
, 0
,
r R
0
2
; (35)
,
r R
T r
, 0
2
;
(36)
,
T r
, 0
,
r R
0
2
.
(37)
