О новом подходе в методе функций Грина при решении краевых задач Дирихле и Неймана для уравнения Лапласа - page 12

Э.М. Карташов
12
Отсюда следует, что кривые const   и const   ортогональны.
В задаче (45) – (47) запишем уравнение (47) в декартовой системе
координат, а граничные условия оставим без изменения:
2 * 2 *
2 2 0 G G
x y
 
 
 
, 2 2 0 ; x y R    (49)
    * 1
, ,
r R
G r
R

         ,     , 0, 2      ; (50)
  * , , G r      , 0 , r R   0 2     . (51)
Введем преобразование
 
ln i i x iy R        
  ,
а вместо функции   * , , G x y x тождественно равную ей:
    *
, , , , W G x y x       . Так как  
exp x iy r i    , то
 
, ln R r      (52)
и область 0 r R   , 0 2     перейдет в область 0   , 0 2    .
Используя (48), можно показать, что функция   , , W     также удо-
влетворяет уравнению Лапласа, и задача (49) – (51) теперь будет
иметь вид
2 2
2 2 0 W W  
 
 
, 0   , 0 2    ; (53)
   
0
1
, , W R 
          ,    
, 0, 2      ; (54)
   
, , 2 , , W W            , 0   ,  
0, 2    ; (55)
 
, , W       , 0   , 0 2    . (56)
Задача (53) – (56) может быть решена методом разделения пере-
менных [6], что дает в конечном счете