О новом подходе в методе функций Грина при решении краевых задач Дирихле и Неймана
13
1 exp 2
1
, ,
2 1 2exp cos
exp 2
W
R
.
Возвращаясь к старым переменным (52), находим искомую
функцию
2 2
*
2 2
1
, ,
2
2 cos
R r
G r
R R r
Rr
,
(57)
вместе с этим на основании (40), (44), (57) и искомое решение задачи
(35) – (37) в виде интеграла Пуассона (47) для круга.
Аналогично можно записать ограниченное решение внешней за-
дачи (при
)
r R
для уравнения (35) в виде
2
2 2
2 2
0
1 ,
2
2 cos
r R
T r
d
R r
Rr
.
Так же могут быть рассмотрены задачи Неймана для полуплоско-
сти и круга.
Ограничимся краткой справкой.
Для полуплоскости
x
,
0
y
функция
,
T x y
удовлетворяет
уравнению (1) и согласно (3) граничному условию
0
,
,
y
T x y
x
y
x
.
Функция
*
, ,
G x y x
удовлетворяет уравнению (14), граничному
условию
*
0
, ,
y
G x y x
x x
y
,
,
x x
и имеет вид
2
*
2
0
2
2
2
2
0
, ,
1 ln
, , ,
1 2 ln
ln
.
y
y
G x y x
x x y G x y x y
x x
y y
x x
y y
Искомое решение
