О новом подходе в методе функций Грина при решении краевых задач Дирихле и Неймана для уравнения Лапласа - page 8

Э.М. Карташов
8
   
2 2
2 2
G G x x y y
x y
         
 
, x   , 0 y  ; (27)
  0 , , , 0
y G x y x y     , x   ; (28)
 
, , , G x y x y    , 0 y  , x   . (29)
Рассмотрим задачу (27), (28). В пространстве изображений синус-
преобразования Фурье      
0
, , , 2 , , , sin G x x y G x y x y ydy

        
решение преобразованного уравнения (27) запишем в виде
       
           
1 2 , , , exp exp 1 2 sin
exp exp exp exp .
x
x
G x x y C x C x y
x x d x x d


            
 
                 
   
 
Далее, учитывая условие ограниченности решения в бесконечно
удаленных точках (29), найдем функцию
     
   
1 2 sin exp , ,
, , ,
1 2 sin exp , .
y x x x x
G x x y
y x x x x
           
  
    
             

Искомый оригинал (по формуле обращения) имеет вид
       
   
2 2
2 2 , , , 1 2 ln .
x x y y
G x y x y
x x y y
    
   
    
(30)
Искомое решение  , T x y задачи (1), (24) по формуле (12), запи-
санной для данной области в виде
     
0
, , ,
, ,
y
G x y x y
T x y x dx
y

  
  
   
 
совпадает с интегралом Пуассона (26).